Integral Parsial 0 = 1

Saya punya soal integral seperti berikut

{\displaystyle \int\frac{1}{x\ln x}dx}

Kita selesaikan dengan metode integral parsial

Ambil

{\displaystyle u=\frac{1}{\ln x}\rightarrow du=-\frac{1}{x\ln^2 x}}

{\displaystyle dv=\frac{1}{x}\rightarrow v=\ln x}

diperoleh

\begin{array}{ccc}\int\frac{1}{x\ln x}dx & = & \frac{1}{\ln x}\ln x-\int \ln x\frac{-1}{x\ln^2 x}dx\\ & = & 1+\int\frac{1}{x\ln x}dx \end{array}

Kita mendapatkan

{\displaystyle \int\frac{1}{x\ln x}dx=1+\int\frac{1}{x\ln x}dx}

Kita bisa mencoret {\displaystyle \int\frac{1}{x\ln x}dx} pada kedua ruas. So.. kita mendapatkan

0 = 1

Hayoo… ada yang tau dimana letak kesalahannya? 🙂

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

17 Responses to Integral Parsial 0 = 1

  1. DC says:

    Setahu saya, metode integrasi parsial itu untuk integral tertentu (ada batas-batas integralnya). Proses pembuktiannya pun memerlukan batas-batas. Untuk kasus di atas, apabila diberi batas (spt [1,x] atau yg lain), bagian uv harusnya menjadi 0.
    Untuk integral tak tentu metode ini masih bisa digunakan (asumsi batas [a,x]), hasil yang diperoleh (antidefivatif nya) tidaklah tunggal (bergantung a), tapi pasti selalu berselisih suatu konstanta. Jadi, menurut saya 1=0 tetap benar, asalkan dengan mengunakan definisi “A=B” jhj A-B suatu konstanta.

  2. Walidah says:

    Kenapa ngga pakai integral substitusi? U = ln x. Hehehe

  3. rharyadiblog says:

    kelirunya di langkah terakhir. waktu sampeyan bilang:
    “Kita bisa mencoret \int\frac{1}{x\ln x}dx pada kedua ruas”
    ya ngga bisa gitu lah.
    \int\frac{1}{x\ln x}dx - \int\frac{1}{x\ln x}dx bukan nol.
    \int\frac{1}{x\ln x}dx - \int\frac{1}{x\ln x}dx = \int 0 dx = c
    cmiiw

    • rharyadiblog says:

      btw, blognya bagus pak.

    • Aria Turns says:

      Ya… betul 🙂

    • ujangbiangkerok says:

      Bagi yang penasaran, penjelasan lebih detil untuk jawaban @rharyadiblog:

      – Integral tak tentu adalah sebuah relasi algebraik, dimana int f(x) dx = F(x) + C. Perlu diperhatikan ekspresi ini bisa berganti-ganti nilai C nya. Contoh:
      int f(x) dx = k + int f(x) dx ==> F(x) + C = k + F(x) + D, dimana C =/= D secara umum.
      Maka yang kita dapat di integral awal kita C – D = 1, hanya informasi yang tidak berguna karena C dan D sembarang angka.

      – Secara lebih tepat, integral tak tentu mengambil fungsi sebagai input, dan memberikan kelas ekuivalensi sebuah fungsi sebagai output. Maka ketika kita berkata
      int f(x) dx = F(x) + C, yang kita maksud adalah int f(x) dx = [F(x)], dimana [ F(x) ] adalah relasi ekuivalen fungsi [ F(x) ] terhadap penjumahan konstanta. Ketika kita melakukan pengurangan [F(x] – [F(x)] = [0], hasilnya adalah relasi ekuivalensi 0 terhadap penjumlahan konstanta.
      Definisi integral parsial yang detil adalah int u dv = [uv] – int v du. Jika kita kembali ke kasus awal kita, akan mendapat:
      int 1/(x*lnx) dx = [1] + int 1/(x*lnx) dx
      [0] = [1], tidak ada kontradiksi di persamaan ini.

      – @rharyadiblog memberi contoh int 0 dx = c. Hal ini menarik karena ini memberi contoh bahwa operasi integral tak tentu tidak linear. Pembahasan lebih lanjut disini https://math.stackexchange.com/questions/1069664/is-indefinite-integration-non-linear

      • rharyadiblog says:

        setuju pak, singkatnya integral tak tentu itu menghasilkan satu himpunan fungsi, bukan satu buah fungsi.
        saya ngga tau apakah analogi ini tepat atau tidak:
        – misalnya ada kebun binatang. di kebun binatang itu ada satu ekor jerapah.
        – kemudian suatu hari ada berita ada satu ekor binatang yang mati di kebun binatang itu. – Jerapah itu binatang.
        kalo pake logika artikel di atas, sekarang kebun binatang itu tidak punya jerapah lagi. ini jelas keliru. karena binatang itu himpunan, binatang bukan cuma jerapah.
        begitu juga integral tak tentu, penyelesaiannya tidak tunggal. int F(x) dx bukan cuma f(x), tapi juga f(x)+1, f(x)+100000, f(x)+pi, dst
        cuma bedanya kalau di integral tak tentu, ada tidak terhingga banyaknya binatang.
        pendapat saya aja sih pak, saya lebih gampang mencerna kalo ada analoginya.

  4. Aria Pratama says:

    Sebenernya lebih mudah ngerjain soal ini pake substitusi aja
    Misalkan u = ln (x) maka diperoleh du = 1/x dx sehingga diperoleh hasil akhir ln (ln (x))

    Tapi jujur saya ga tau dimana kelirunya metode int parsial diatas haha

  5. arman says:

    kayanya ada yang keliru di turunan 1/lnx.
    soalnya yang saya dapet kalo pake aturan pembagian diturunan
    y=1/lnx maka dy/dx=-1/x(lnx)^2
    maaf kalo salah

  6. Sandy says:

    coba lagi 😁
    turunan ke n dari 1/(ln x) bukan 0, walaupun n mendekati tak hingga.

  7. Sandy says:

    1/x adalah faktor dari turunan 1/ln(x) yaitu 1/x . 1/ln²(x)
    seharusnya tidak menggunakan integral subtitusi.
    cmiiw

  8. ap says:

    keliru saat substitusi uv – integral v du, tepatnya dibagian v untuk integral v du. seharusnya 1/ln x . ln x – integral ln x (-1/ln x) dx = 1 + integral 1 dx

    cmiiw ._.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s