Hanya kontinyu di satu titik (versi formal)

Saya pernah membahas bahwa ada suatu fungsi yang hanya kontinyu di satu titik secara non-formal, sekarang saya akan membahasnya secara formal.

Didefiniskan fungsi sebagai berikut

f\left(x\right)=\begin{cases} x & ,jika\,x\,rasional\\ -x & ,jika\,x\,irasional \end{cases}

Akan ditunjukkan fungsi tersebut hanya kontinyu di x=0.

Diberikan a≠0, ambil xr barisan rasional yang konvergen ke a dan xi barisan irasional yang konvergen juga ke a. Diperoleh

\lim_{x_{r}\rightarrow a}f\left(x_{r}\right)=a

dan

\lim_{x_{i}\rightarrow a}f\left(x_{i}\right)=-a

Disimpulkan \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right) tidak ada. Dengan kata lain f(x) diskontinyu di a≠0

Selanjutnya untuk titik di 0, berdasarkan definisi f(o)=0. Karena nilai f(x) selalu x atau -x maka diperoleh  -|x| ≤ f(x) ≤ |x|. karena

\lim_{x\rightarrow0}-\left|x\right|=\lim_{x\rightarrow0}\left|x\right|=0

maka berdasarkan teorema Sandwich disimpulkan \lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0. Dengan kata lain f(x) kontinyu di 0

 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s