Hanya kontinyu di satu titik

kontinyu

Continuous, menurut kamus.net itu artinya terus menurus tanpa henti. Tentunya kalian pernah menedengar istilah fungsi kontinyu (continuous function). Kita tahu bahwa definsi dari suatu fungsi kontinyu di titik a adalah

\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)

artinya

Jika x mendekati a maka f(x) mendekati f(a)

Nah.. satu hal yang menarik tentang kontinyuitas ini adalah kita bisa mendefinsikan fungsi yang hanya kontinyu di satu titik tetapi diskontinyu di titik-titik lainnya. Dengan kata lain kita bisa mendifinisikan fungsi yang kontinyu di suatu titik tetapi dari titik tersebut kita tidak bisa kemana-mana, kita tidak bisa meneruskan perjalanan, kita terhenti. Mmm… bertolak belakang dengan pengertian continuous, ya kan?

Sekarang perhatikan fungsi berikut

f\left(x\right)=\begin{cases} x & ,jika\,x\,rasional\\ -x & ,jika\,x\,irasional \end{cases}

Akan kita buktikan fungsi di atas hanya kontinyu di x = 0.( Oya saya akan mengunakan bahasa sederhana tidak terlalu teknis)

Diberikan a ≠ 0 dan H=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\right\} yaitu himpunan bilangan-bilangan yang mendekati a, tentu saja ada 2 macam bilangan didalam H, yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional. Itu berarti ada 2 kemungkinan nilai f(x) dengan x\in H yaitu f(x) = x yang mendekati a jika x rasional atau  f(x) = -x yang mendekati -a, jika x irasional. Dengan kata lain  \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right) memiliki 2 nilai padahal seharusnya nilai limit itu tunggal. Disimpulkan fungsi f diatas tidak kontinyu untuk a ≠ 0

Selanjutnya untuk a = 0 karena nol adalah rasional maka f(0) = 0. Pada bilangan nol, setiap bilangan x yang mendekati nol maka dengan sendirinya -x juga mendekati nol. Jelas,kan ? Bilagan 0,0001 mendekati 0 begitupula -0,0001. Serupa dengan cara di atas, dinotasikan G=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\right\} yaitu himpunan bilangan-bilangan yang mendekati 0. Tentu saja ada 2 kemungkinan nilai f(x) dengan x\in G yaitu f(x) = x dan f(x) = -x, serta kedua nilai tersebut sama-sama mendekati nol. Kesimpulannya \lim_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)=f(0) . Dengan kata lain fungsi di atas kontinyu di nol

***

Ya.. inilah matematika yang memiliki bahasa tersendiri dan tidak terikat dengan bahasa sehari-hari

 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Hanya kontinyu di satu titik

  1. Pingback: Hanya kontinyu di satu titik (versi formal) | Aria Turns

  2. Jauharry says:

    waktu SMA dulu saya menafsirkan kontinyu berbatas, bener gak yah pemahaman saya ?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s