Integral sin(x)cos(x)dx

Mari kita kerjakan soal integral tak tentu berikut:

∫ sin(x)cos(x) dx

Kita gunakan metode subtitusi, yang disubtitusi sin(x)

u = sin (x)

du = cos (x) dx

[1/cos(x)]du = dx

Kita mendapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ u du

=½ u² + C

= ½ sin²(x) + C

Ternyata kita juga bisa mensubtitusi cos(x)

u = cos(x)

du = -sin(x)

[-1/sin(x)]du = dx

Kita mendapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ -u du

=-½ u² + C

= -½ cos²(x) + C

Selain cara subtitusi, kita juga bisa menggunakan rumus sudut ganda pada trigonometri

sin(2x) = 2sin(x)c0s(x)

½ sin(2x) = sin(x)c0s(x)

Kita medapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ ½ sin(2x) dx = ½∫ sin(2x) dx

= -¼ cos(2x) + C.

Jadi ∫ sin(x)cos(x) dx itu punya 3 jawaban?? Tenang saja ketiga jawaban tersebut ekuivalen kok alias sami-mawon.

Nah.. bisa kah kalian menunjukkan

  1. ½ sin²(x) + C
  2. -½ cos²(x) + C  dan
  3. -¼ cos(2x) + C

Ketiga bentuk tersebut ekuivalen?

 

 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Uncategorized and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Integral sin(x)cos(x)dx

  1. yogisaputro says:

    Saya mau buktikan pakai trigonometri tapi sudah lupa identitasnya hehe.
    Kalau saya buktikan lewat plot fungsi ketiganya.(tanpa embel-embel +C) jadi seperti berikut.
    https://lh3.googleusercontent.com/He7mO4vIL4IyD4J-6ia1vBcJ5tWKdTxDWvFEB9p2OWu1Ay5YFcKB3fujx0bR8Ei3F3dyVIGnog=w1366-h768-rw-no

    Perbedaan ketiga plot fungsi tersebut adalah posisinya terhadap sumbu Y. Disitulah suku konstanta alias C berperan. Sebab C akan mengubah posisi grafik terhadap sumby Y saja.

  2. budi main bola says:

    ½ sin²(x) + C
    -½ cos²(x) + C
    -¼ cos(2x) + C

    ½ sin²(x) + C = ½ (1-cos²(x) +C) = -½ cos²(x) + ½ +½C
    berhubung ½ +½C konstan, hasil akhirnya bisa ditulis -½ cos²(x) + C

    -¼ cos(2x) + C = -¼ [cos²(x) – sin²(x)] +C = -¼ [cos²(x) – (1-cos²(x))] +C
    = -¼ [ cos²(x) – 1 + cos²(x)] + C
    = -½ cos²(x) +1 +C
    berhubung 1 +C adalah konstan, hasil akhirnya bisa ditulis -½ cos²(x) +C

    Eh yang buat subtitusi cos(x) kan harusnya du = -sin(x) dx

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s