Pembuktian Pi Konstant

Di postingan sebelumnya, saya mengatakan bahwa π itu konstant hanya di Geometri Euclidean tetapi tidak konstan di Geometri Non-Euclidean. Nah..sekarang mari kita buktikan kekonstanan π di Geometri Euclidean

Untuk membuktikannya, kita akan mengambil sembarang 2 lingkaran yang ukuran berbeda kita namakan lingkaran yang pertama  L1 dengan jari-jari adalah r1 ,keliling adalah k1 dan  lingkaran kedua L2 dengan jari-jari adalah r2 ,keliling adalah k2 , kemudian kita tunjukkan bawa rasio keliling terhadap diameternya mempunyai nilai yang sama padahal kedua lingkaran tersebut mempunyai ukuran yang berbeda, dengan kata lain akan ditunjukkan

{\displaystyle \frac{k_{1}}{2r_{1}}=\frac{k_{2}}{2r_{2}}}.

Misalkan r2 > r1 , dengan kata lain L2 lebih besar daripada L1 . Kita tempatkan kedua lingkaran tersebut sehingga keduanya memiliki titik pusat yang sama, bahasa kerennya concentric. Itu berarti L1 berada di dalam L2.

Conc_circles_pi

Dibangun oleh 15 segitiga sama kaki

Andaikan L2 dibangun dari tak hingga banyaknya segitiga sama kaki yang kongkruen, kita namakan T2. Puncak segitiga berada di titik pusat sehingga sisi kaki T2 menjadi jari-jari dari L2. Itu artinya alas T2 yang dinotasikan s2 berada di tepi lingkaran L2, semakin banyak T2 maka alasnya akan semakin menutupi tepi L2 , disimpulkan

k2 = ns2 dengan n→∞

Selanjutnya kita perpendak kaki dari T2 sehingga menyentuh tepi lingkaran L1. Kita namakan T1 segitiga sama kaki hasil perpendakkan kaki dari T2. Itu berarti L1 dibangun dari T1. Dengan argumentasi yang sama disimpulkan

k1 = ns1 dengan n→∞

Kita mendapatkan rasio keliling L2 terhadap diameternya adalah

{\displaystyle \frac{k_{2}}{2r_{2}}=\frac{ns_{2}}{2r_{2}},\;n\rightarrow\infty}

sedangkan rasio keliling L1 terhadap diameternya adalah

{\displaystyle \frac{k_{1}}{2r_{1}}=\frac{ns_{1}}{2r_{1}},\;n\rightarrow\infty}

Karena T1  dan T2 sebangun (mengapa?), itu artinya

{\displaystyle \frac{s_{2}}{r_{2}}=\frac{s_{1}}{r_{1}}}

So.. dapat disimpulkan

{\displaystyle \frac{ns_{2}}{2r_{2}}=\frac{ns_{1}}{2r_{1}},\;n\rightarrow\infty}

{\displaystyle \frac{k_{1}}{2r_{1}}=\frac{k_{2}}{2r_{2}}}.

QED

Referensi: math.wikia.com

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s