Logarima natural, apanya yang natural?

Yang belajar kalkulus, tentunya tahu bahwa logaritma yang basisnya adalah e disebut logaritma natural, dinotasikan \ln x.

Nah.. sekarang pertanyaannya

Mengapa disebut logaritma natural? Apanya yang natural?

Mungkin kita merasa logaritma dengan basis 10 adalah natural, karena kita mengunakan bilangan berbasis 10. Akan tetapi di alam justru yang lebih sering muncul adalah logaritma dengan basis e bukan dengan basis 10. Rumus e^x dan \ln x adalah rumus yang menjelaskan bagaimana pertumbuhan/ perkembangan secara kontinyu yang terjadi di alam. Rumus e^x adalah besaran pertumbuhan dalam x satuan waktu. Jika suatu organisme tumbuh 100% dalam satu satuan waktu maka dalam x satuan waktu maka organisme tersebut tumbuh e^x kali dari ukuran awal. Dalam 3 satuan waktu, suatu organisme akan tumbuh e^{3}\approx20 kali dari ukuran semula. Sedangkan  \ln x adalah waktu yang dibutukan untuk tumbuh atau berkembang x kali lipat dari ukuran semula. Untuh tumbuh 10 kali lipat, suatu organisme membutuhkan waktu \ln10\approx2,3 satuan waktu.

Pemuaian atau penyusutan suatu benda yang dipanaskan atau didinginkan serta peluruhan radioaktif juga berdasarkan rumusan e^x dan \ln x, inilah yang disebut Hukum pertumbuhan natural (Law of Natural Growt).

Sudah bisa terlihatkan dimana letak natural dari logaritma natural?

Itu tadi alasan pertama, sedangkan alasan keduanya adalah ternyata di dunia matematis pun, logaritama natural juga bersikap natural.

Turunan Logaritma natural memiliki bentuk paling sederhana dibandigkan turunan logaritma lainnya

y=\ln x

kita turunkan diperoleh

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}

Bukti

Sekarang kita lihat turunan logaritma lainnya

y=^{a}\log x=\frac{\ln x}{\ln a}

{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{x}\cdot\ln a}{\left(\ln a\right)^{2}}=\frac{1}{x\ln a}}

Jelas terlihat, kita selalu membutuhkan logaritma natural jika menurunkan logaritma lainnya.

Selain itu kita juga selalu membutuhkan logaritma natural, jika kita mau menghitung logaritma lain dengan menggunakan deret taylor.

***

Itu tadi beberapa alasan mengapa logaritma dengan basis e disebut logaritma natural

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus, Kenapa and tagged , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to Logarima natural, apanya yang natural?

  1. Liyenka Belusi Tantra says:

    Basis e basis 10 itu maksudnya apa ya pak?

  2. Boleh Juga says:

    Jika suatu organisme tumbuh 100% dalam satu satuan waktu maka dalam x satuan waktu maka organisme tersebut tumbuh $e^x$ kali dari ukuran awal.
    Saya bingung.
    “Jika suatu organisme tumbuh 100% dalam satu satuan waktu”. Katakan satuan waktunya hari. Jika suatu organisme tumbuh 100% dalam satu hari, maka dalam satu hari itu dia akan berukuran 2 kali dari semula (ukuran sekarang = ukuran sebelumnya + (ukuran sebelumnya x 100%) = 2 x ukuran sebelumnya, ya kan?). Bertentangan dengan “maka dalam x satuan waktu maka organisme tersebut tumbuh $e^x$ kali dari ukuran awal.”, karena $e^1\neq 2$.
    Untuk pernyataan itu kayanya lebih cocok kalau $2^x$, bukan $e^x$.
    Mohon koreksi kalau saya keliru menangkap maksud anda.

  3. naif12 says:

    Jangan lupa juga, makin besar x, x/pi(x) mendekati ln x untuk x bil.asli

    Pi(x) adalah banyak bilangan prima lebih kecil/sama dengan x

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s