Pembuktian Rumus Penjumlahan Sudut, Cara lain

Pada postingan sebelumnya, kita telah membuktikan rumus

\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

dan

\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

secara geometris. Sekarang mari kita buktikan kembali kedua rumus tersebut dengan cara lain yaitu secara kalkulus kompleks menggunakan rumus Euler.

Rumus Euler:  e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

Masukkan \theta=\alpha+\beta, diperoleh

e^{i\left(\alpha+\beta\right)}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right)

berdasarkan sifat perpangkatan

e^{i\left(\alpha+\beta\right)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}

\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right)=\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)\left(\cos\beta+i\sin\beta\right)

Lakukan perkalian pada sisi kanan

\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right)

=\left(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\right)+i\left(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\right)

Kita pisahkan bagian real dan imajinernya, didapat

\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

***

Lebih sederhana pembuktian secara kalkulus kompleks daripada secara geometris, iya kan?

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex, Uncategorized and tagged , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s