Pembuktian Rumus Penjumlahan Sudut

Dalam Trigonometri, kita sudah familiar dengan rumus-rumus penjumlahan sudut

  1. \sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B
  2. \cos\left(A+B\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
  3. {\displaystyle \tan\left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}

Sekarang mari kita buktikan rumus-rumus tersebut

penjumlahan sudut

Kita buktikan dulu rumus pertama, berdasakan gambar diatas, diperoleh

{\displaystyle \sin\left(A+B\right)=\frac{MP}{OP}=\frac{MR+RP}{OP}=\frac{NQ+RP}{OP}=\frac{NQ}{OP}+\frac{RP}{OP}}

{\displaystyle = \frac{NQ}{OQ}\cdot\frac{OQ}{OP}+\frac{RP}{PQ}\cdot\frac{PQ}{OP}}

{\displaystyle =\sin A\cos B+\cos A\sin B}

Selanjutnya yang kedua

{\displaystyle \cos\left(A+B\right)=\frac{OM}{OP}=\frac{ON-MN}{OP}=\frac{ON-RQ}{OP}=\frac{ON}{OP}+\frac{RQ}{OP}}

{\displaystyle =\frac{ON}{OQ}\cdot\frac{OQ}{OP}-\frac{RQ}{PQ}\cdot\frac{PQ}{OP}}

{\displaystyle =\cos A\cos B-\sin A\sin B}

Dari 2 rumus yang telah kita buktikan di atas, kita mendapatkan:

{\displaystyle \tan\left(A+B\right)=\frac{\sin\left(A+B\right)}{\cos\left(A+B\right)}}

{\displaystyle =\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}}

Selanjutnya bagi pembilang dan penyebut dengan cosAcosB

{\displaystyle =\frac{\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B}}{\frac{\cos A\cos B-\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}}

{\displaystyle =\frac{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}}{1-\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}}

{\displaystyle =\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}

Berdasarkan relasi \sin\left(-A\right)=-\sin A\cos\left(-A\right)=\cos A dan \tan\left(-A\right)=-\tan A, kita mendapatkan

  1. \sin\left(A-B\right)=\sin A\cos B-\cos A\sin B
  2. \cos\left(A-B\right)=\cos A\cos B+\sin A\sin B
  3. {\displaystyle \tan\left(A-B\right)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}}

Referensi:

Trig Book

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus, Uncategorized and tagged , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s