Teorema Kupu-Kupu

525px-Butterfly_theorem.svgSaya pernah membahas Lemma Kupu-kupu, sekarang saya akan membahas Teorema Kupu-kupu. Meskipun sama-sama menggunakan nama kupu-kupu tetapi keduanya tidak ada hubungannya. Lemma Kupu-kupu adalah lemma pada Teori Grup sedangkan Teorema Kupu-kupu adalah  teorema pada Geometri.

Teorema Kupu-kupu: Diberikan M adalah titik tengah dari tali busur PQ pada suatu lingkaran, AB dan CD adalah 2 tali busur yang melalului M serta AD dan CB memotong tali busur PQ di X dan Y maka M adalah titik tengah XY

Bukti:

Proof_of_Butterfly_theoremKita mulai dengan menggambar 2 garis saling tegak lurus XX’dan XX” yang berawal dari titik X ke AM dan DM, selajutnya dengan cara serupa kita kembali menggambar 2 garis saling tegak lurus YY’dan YY” yang berawal dari titik Y ke BM dan CM, diperoleh

\bigtriangleup MXX'\sim\triangle MYY'\frac{MX}{MY}=\frac{XX'}{YY'}

\bigtriangleup MXX"\sim\triangle MYY"\frac{MX}{MY}=\frac{XX"}{YY"}

\bigtriangleup AXX'\sim\triangle CYY"\frac{XX'}{YY"}=\frac{AX}{CY}

\bigtriangleup DXX"\sim\triangle BYY'\frac{XX"}{YY'}=\frac{DX}{BY}

Dari persamaan diatas, kita mendapatkan:

{\displaystyle \left(\frac{MX}{MY}\right)^{2}=\frac{XX'}{YY'}\cdot\frac{XX"}{YY"}}

{\displaystyle =\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY}}

{\displaystyle =\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY}}

{\displaystyle =\frac{\left(PM-XM\right)\left(MQ+XM\right)}{\left(PM+MY\right)\left(QM-MY\right)}}

{\displaystyle =\frac{\left(PM\right)^{2}-\left(MX\right)^{2}}{\left(PM\right)^{2}-\left(MY\right)^{2}}}

Karena PM = MQ, diperoleh:

{\displaystyle \left(\frac{MX}{MY}\right)^{2}=\frac{\left(PM\right)^{2}-\left(MX\right)^{2}}{\left(PM\right)^{2}-\left(MY\right)^{2}}}

 So..dapat disimpulkan MX = MY dengan kata lain M adalah titik tengan dari garis XY

Sumber Gambar: Wikipedia

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri and tagged , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s