Akar didalam akar

Di Matematika ada istilah Nested radicals yang secara harfiah artinya adalah Akar bersarang. Errr… terdengar janggal bukan? Oleh karena itu saya akan mengunakan istilah Akar didalam akar sebgai terjemahan dari nested radicals.

Akar didalam akar adalah bentuk ekspresi akar yang didalamnya memuat bentuk akar pula. Sebagai contoh

 \sqrt{3+\sqrt{5}}

\sqrt{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}

Nah.. yang menarik, bilangan real positif dapat dieksperisikan dalam bentuk akar didalam akar, Sebagai contoh

{\displaystyle 2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\ldots}}}}}}

{\displaystyle 3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{\ldots}}}}}}

{\displaystyle 4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{\ldots}}}}}}

Bentuk umumnya adalah

{\displaystyle k=\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{\ldots}}}}}}

Sekarang kita kan mencari hubungan k dengan m. Kita kuadratkan kedua sisi persamaan diatas diperoleh

{\displaystyle k^{2}=m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{\ldots}}}}}

{\displaystyle k^{2}=m+k}

{\displaystyle k^{2}-k=m}

Inilah hubungan antara k dengan m tetapi hubungan tersebut hanya berlaku untuk k>1. Mengapa? Coba kalian lihat apa yang terjadi jika k=1 dan m=0 !

Update 16/05/15

Ah… saya baru saja menemukan1 fakta yang cukup menarik tentang ternyata untuk sebarang bilangan real positif berlaku:

{\displaystyle p=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}}

Contoh:

{\displaystyle 2=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\ldots}}}}}}

{\displaystyle 3=\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\ldots}}}}}}

Nah.. sekarang mari kita buktikan

Andaikan {\displaystyle q=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}}, akan ditunjukkan p=q

{\displaystyle q=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}}

{\displaystyle q^{2}=p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}

{\displaystyle q^{2}=pq}

{\displaystyle q=p}

Q.E.D

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Akar didalam akar

  1. flippy says:

    bagaimana kita tahu bahwa akar bersarang yang menuju ketakterhinggaan itu mendekati suatu nilai / ada limitnya?

  2. Tempel Balik says:

    Asyik ini tipsnya 🙂 Trimaksih sudah berbagi (y)

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s