limit sin (x) / x

Di semester 2, siswa kelas XI jurusan IPA mempelajari limit trigonometri, salah satu persamaan yang mereka dapat adalah

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}

Di buku paket matematika kelas XI IPA yang digunakan murid-murid saya sudah terdapat pembuktian dari persamaan diatas. Akan tetapi menurut saya pembuktiannya masih terlalu rumit untuk tingkat sma, karena mengunakan teorema apit yang belum dipelajari di tingkat SMA.

Oleh sebab itu saya bertanya-tanya ada tidak pembuktian dari persamaan diatas yang hanya mengunakan konsep-konsep matematis yang familiar untuk siswa SMA. Bertanyalah saya ke mbah Google, oh teryata ada pembuktain yang hanya mengunakan konsep radian, lingkaran unit (lingkaran dengan jari-jari 1 satuan), juring dan busur.

Didalam limit trigonometri, umumnya besaran sudut yang digunakan adalah radian. Kita tahu ada 2 besaran sudut yaitu derajat dan radian. Dalam derajat 1 putaran penuh = 360º sedangkan dalam radian 1 putaran penuh = 2π rad. Jika suatu juring pada lingkaran unit membentuk sudut θ rad maka busur yang terbentuk mempunyai panjang θ satuan

Perhatikan gambar berikut:

setangah lingkaran unit

Diberikan setengah lingkaran unit serta juring denganbesar sudut θ rad, tentu saja panjang busurnya (arc legth) adalah θ satuan. Dari juring tersebut, dibentuklah segitiga siku-siku dengan sisi miringanya adalah jari-jari lingkaran. Berdasarkan definisi  sin θ = panjang sisi depan / panjang sisi miring, karena panjang sisi miring = 1 satuan, jelas sin θ = panjang sisi depan.

sin theta

Dari gambar diatas terlihat jika θ mengecil maka panjang sisi miring yaitu sin θ akan menedekati panjang busur yaitu θ. Disimpulkan jika θ → 0 maka sin(θ) / θ → 1, dengan kata lain

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}

Referensi: MIT OpenCourseWare

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to limit sin (x) / x

  1. Melisa Kurniawan says:

    terima kasih atas infonyaa^^

  2. Izin saya save ya.. Thank’s…I

  3. rumus segi n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar = r adalah n.luas segitiga (segi-n beraturan dibagi menjadi n buah segitiga sama kaki dengan sudut dalam 2pi/n). = n.1/2.r^2.sin(2pi/n). limit untuk n menuju tak hingga sama dengan luas lingkaran luar = lim (n–>takhingga) n/2.(r^2).sin(2pi/n). dibagi dengan n/2.(r^2) didapat lim (n—>takhingga) sin(2pi/n) = 2pi/n

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s