Akar i

Postingan kali ini bisa dikatakan jawaban saya dari pertanyaan seorang pembaca bernama Nugroho. Kita tahu bilangan imajiner dinotasikan i adalah akar dari -1

i=\sqrt{-1}.

Nah..sekarang apa jadinya jika i yang sudah merupakan bentuk akar, kita akarkan kembali.

Berapa \sqrt{i} ?

Untuk menjawabnya, kta akan menggunakan rumus de moviere untuk akarke-n.

Diberikan sembarang bilangan kompleks tak nol yang ditulis dalam bentuk polar z=\left|z\right|\cos\theta+i\sin\theta maka berlaku

{\displaystyle \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}}\quad k=0,2,\ldots,n-1

Diketahui dalam bentuk polar, i=\cos\frac{1}{2}\pi+i\sin\frac{1}{2}\pi, masukkan kerumus diatas, diperoleh

{\displaystyle \sqrt{i}=\cos\frac{\frac{1}{2}\pi+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{1}{2}\pi+2k\pi}{2}}

Untuk k=0, diperoleh:

\sqrt{i}=\cos\frac{1}{4}\pi+i\sin\frac{1}{4}\pi\approx0,7071+0,7071i

sedangkan, untuk k=1, diperoleh:

\sqrt{i}=\cos\frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi\approx-0,7071-0,7071i

Jadi nilai \sqrt{i}, ada 2? Ya, secara umum akar ke-n dari suatu bilangan kompleks, \sqrt[n]{z} akan mempunyai nilai sebanyak n. Mengapa bisa begitu? err… saya jelaskan lain kali aja yach 🙂

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Akar i

  1. Nugroho says:

    apakah jawaban di atas bila dikuadratkan bisa menghasilkan i lagi ?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s