Membagikan secara acak

Seorang guru matematika membagikan hasil ulangan kepada N murid-muridnya secara acak. beberapa peluang paling tidak ada satu murid mendapatkan hasil ulangannya sendiri?

Sumber: mountaingoatsoftware.com

Sumber: mountaingoatsoftware.com

Mungkin kamu akan berpikir, semakin banyak muridnya maka peluangnya akan semakin kecil, jika kamu berpikir demikian maka kamu keliru.  Sekarang mari kita bahas soal diatas.

Dinotasikan  P_{m}\left(N\right) peluang paling sedikit terdapat m murid dari N murid yang ada yang mendapatkan ulangannya  sendiri. So… P_{1}\left(N\right) adalah peluang paling tidak ada 1 murid yang mendapatkan ulangannya sendiri. Untuk menghitung P_{1}\left(N\right) akan digunakan E_i yaitu kejadian murid ke-i yang mendapatkan ulangannya sendiri. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip inklusif-ekslusif diperoleh

\begin{array}{cc}    P_{1}(N)=P\left(\cup_{i}E_{i}\right) & =\sum_{i}P\left(E_{i}\right)-\sum_{i<j}P\left(E_{i}E_{j}\right)+\sum_{i<j<k}P\left(E_{i}E_{j}E_{k}\right)-\ldots+\left(-1\right)^{N+1}P\left(E_{1}E_{2}\ldots E_{N}\right)\\    & =\sum_{i}\frac{\left(N-1\right)!}{N!}-\sum_{i<j}\frac{\left(N-2\right)!}{N!}+\sum_{i<j<k}\frac{\left(N-2\right)!}{N!}-\ldots+\left(-1\right)^{N+1}\frac{1}{N!}\\    & =N\frac{\left(N-1\right)!}{N!}-\binom{N}{2}\frac{\left(N-2\right)!}{N!}+\binom{N}{3}\frac{\left(N-2\right)!}{N!}-\ldots+\left(-1\right)^{N+1}\frac{1}{N!}\\    & =1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\ldots+\left(-1\right)^{N+1}\frac{1}{N!}    \end{array}

Deret diatas konvergen ke 1 − 1/e ≈ 0.63 untuk N menuju tak hingga.

Jika N=3 maka diperoleh peluangan 1 – 1/2! + 1/3! = 1 – 1/2 + 1/6 = 4/6 = 0.666…

***

Bagaimana menghitung peluang mencocokkan N hal kepada N hal lainnya secara acak, pertama kali dibahas oleh  orang prancis  Pierre R ́mond de Montmort pada tahun 1708.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in probabilitas and tagged , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Membagikan secara acak

  1. Indonesia says:

    Yah jelas lah peluangnya semakin besar seiring semakin banyaknya murid karena asumsinya adalah BEBERAPA orang akan mendapatkan hasil ujiannnya sendiri.

    Lain halnya ada 1000 orang lalu peluang terjadinya ada SATU orang dari 1000 orang tersebut mendapatkan hasil ujiannya sendiri yah beda.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s