Prima Mersenne

Marin mersenne sumber: Wikipedia

Marin mersenne sumber: Wikipedia

Prima Mersenne dinotasikan M_p adalah bilangan prima yang mempunyai bentuk 2^p-1 dengan p juga bilangan prima. Berikut adalah 5 prima Mersenne yang pertama:

M_2=2^2-1=3, M_3=2^3-1=7, M_5=2^5-1=31 , M_7=2^7-1=127 dan M_13=2^13-1=8191

Prima Mersenne mempunyai beberapa fakta menarik sebagai berikut:

1.  Baru diketahui 48 prima Mersenne

Sampai tulisan ini ditulis, hanya ada jkt48 prima Mersenne, yang kita ketahui.  Prima Mersenne ke- 48 adalah M_{57.885.161} ditemukan 25 januari 2013. Prima Mersenne ke-48 juga merupakan bilangan prima terbesar yang saat ini kita ketahui. Konon katanya untuk menuliskan M_{57.885.161} dibutuhkan 4.647 halaman dengan 75 digit per baris dan 50 baris per halaman. Silahkan klik di sini untuk melihat ke-48 prima Mersenne

2. Berhingga atau tidak berhingga?

Sampai detik ini para Matematikawan tidak mengetahui apakah prima Mersenne mempunyai jumlah berhingga atau tak berhingga? Banyak yang menduga prima Mersenne mempunyai jumlah tak hingga banyaknya tetapi sampai detik ini belum ada yang mampu membuktikan secara matematis dugaan tersebut.

3. Ada Kerjasama Global untuk mencari prima Mersenne.

GIMPSGreat Internet Mersenne Prime Search) adalah proyek kerjasama global yang bersifat suka-rela untuk mencari prima Mersenne. Dari prima Mersenne ke-35 sampai yang terakhir ditemukan yaitu yang ke-48 semuanya berkat usaha GIMPS.  Jika kalian mengunjungi situsnya http://www.mersenne.org/, kalian bisa mengunduh software pencari prima Mersenne yang disebut Prime95 secara cuma-cuma. Prime95 berkerja berdasarkan algoritma Lucas-Lehmer test, yaitu algoritma untuk mengetes apakah suatu bilangan berbentuk 2^p-1 merupakan bilangan prima atau bukan.  Btw GIMPS menyediakan hadiah uang yang cukup besar  samapi nominal US$ 150.000,- bagi yang berhasil menemukan prima Mersenne baru.

4. Hubungan dengan bilangan sempurna.

Buat yang belum tahu apa itu bilangan sempurna, silahkan klik di sini. Pada abad ke-4 SM, Euclid membuktikan untuk suatu M_p maka M_p(M_p+1)/2 adalah bilangan sempurna. 2000 tahun kemudian di abad ke-18 Euler membuktikan sebaliknya setiap bilangan sempurna genap akan mempunyai bentuk seperti itu.

5. Diambil dari nama pendeta.

Seperti yang sudah saya katakan diatas Prima Mersenne sudah dipelajari oleh matematikana Yunani kuno, Euclid lebih dari 2400 tahun yang lalu. Akan tetapi Prima Mersenne bukan diambil dari nama matematikawan Yunani kuno melainkan diambil dari nama pendeta Jesuit asal Prancis yang hidup di abad pertengahan Marin Mersenne (1588–1648). Pendeta tersebut yang membuat daftar Prima Mersenne.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Prima Mersenne

  1. Pingback: Bilangan Prima Mersenne – Site Title

  2. CandrA7X says:

    Saya jadi bingung sendiri Mas Nur Satria
    Kan kata katanya 2^p – 1 “May be” Prime
    Setahu saya kan di dalam Matematika itu kita tidak boleh berkata “May be”
    Seharusnya kan kita secara pasti mengatakan itu prima (dengan suatu bukti yang terstruktur), atau itu tidak prima (dengan menunjukkan suatu counter example)

    Nah untuk kasus ini, kalaulah 2^p – 1 itu prima, maka seharusnya dia itu prima untuk setiap p elemen Himpunan Bilangan prima

    Nah, kenyataannya, dapat ditemukan p = 11 , yang notabene dia adalah bilangan prima
    Tapi menyebakan 2^p – 1 = 2048 – 1 = 2047 = 23 x 89
    Sehingga 2047 BUKAN merupakan bilangan prima

    Secara Naif, dengan adanya counter example tersebut
    Maka dapat dikatakan bahwa Rumus Prima Mersenne juga gagal
    Sama seperti Rumus Prima Fermat 2^(2^n) – 1 yang sebelumnya sudah gagal di n = 5
    Karena Euler menemukan bahwa 2^(2^5) – 1 = 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417

    Berarti kan sudah Prima Mersenne sudah terKONTRADIKSI di p = 11
    Harusnya kan mereka malu karena mereka sudah gagal

    Tapi NGAPAIN GIMPS ( Great Internet Mersenne Prime Search) sampai repot repot, sedemikian hingga menyediakan hadiah yang besar untuk penemu Prima Mersenne lainnya
    Apa Gunanya? Toh rumus Prima Mersenne sudah salah koq, karena gak mencakup semua
    Kurang kerjaan aja :v

    Bisa dijelaskan kah Mas Nur Satria,
    Mengapa koq masih ada yang ingin mencari bilangan Prima Mersenne yang lain
    Iya kalau yang mereka temukan memang prima
    Tapi kalau sudah repot repot, menghitung pangkat sebanyak itu dengan numerik, eh ternyata hasilnya gak prima, kan ya kasihan 😮

    Menurut saya koq Bilangan Prima itu memang tidak ada rumus umumnya sih :v

    • Aria Turns says:

      Saya mengatakan Prima mersenne adalah bilangan prima berbentuk 2^p – 1 dengan p prima BUKAN mengatakan bilangan yang berbentuk 2^p – 1 dengan p prima adalah prima, tau bedanya?

      • CandrA7X says:

        Iya mas tahu beda nya
        Pernyataan nya satu arah
        Gak biimplikasi
        Jadi konvers nya gak berlaku

        Saya cuma merasa aneh aja dengan website yang mencari bilangan prima mersenne
        2^p – 1 May be Prime
        Cuma risih dengan kata “May be” aja

        Tapi saya cukup jelas dengan penjelasan anda yang sangat singkat
        Terima Kasih mas

        • msihabudin says:

          “may be” di sini kalo menurut saya yang paling mungkin.. kita juga bisa mengatakan bahwa 6n+1 may be prime, atau bahkan 2n+1 may be prime.. tetapi karena sudah banyak 6n+1 yang merupakan bilangan komposit, maka kata may be pada bentuk 6n+1 tidak ditekankan…
          yah.. memang orang2 di sana berlomba2 mencari bilangan prima yang lebih besar dan lebih besar lagi, karena marsenne prime ini lebih sering menghasilkan bilangan prima, mungkin karena itu dia digunakan untuk pencarian selanjutnya dan memberikan kata “may be prime” di dalamnya.. tujuan mencari bilangan prima yang besar sih dengar2 buat enkripsi yah.. tp gak tau juga sih.. cmiiw

  3. 137F says:

    sebenarnya ada yang menarik perhatian ku,
    misalkan kita punya p adalah bilangan prima mersenne, maka p+2 selalu habis dibagi 3 jika eksponennya lebih dari 2. Tapi ini baru teramati untuk angka kecil, kurang tau apakah ini berlaku umum.

    Dan misalkan lagi 2^n + 1 = p juga hampir sama di mana n adalah bilangan bulat dan p adalah bilangan prima, p-2 selalu habis dibagi 3.

    apakah itu berlaku umum?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s