Perkalian bukan penjumlahan berulang

Sumber: dyscalculianomorereview.com

Sumber: dyscalculianomorereview.com

Di postingan sebelumnya, saya membahas perkalian sebagai penjumlahan berulang. Inilah pengertian perkalian yang diajarkan ke kita, ketika SD.

Jika perkalian adalah penjumlahan berulang, bagaimana menuliskan 0,003456 × 0,0331 sebagai penjumlahan berulang?

Jika perkalian adalah penjumlahan berulang, bagaimana menuliskan √2 × π  sebagai penjumlahan berulang?

Satu hal yang perlu kalian ketahui, matematika secara formal TIDAK PERNAH mendefinisikan perkalian sebagai penjumlahan berulang.

Kalau bukan penjumlahan berulang lalu apa itu perkalian?

Perkalian adalah operasi biner, begitupula penjumlahan juga merupakan operasi biner tetapi tentu saja keduanya merupakan operasi biner yang berbeda.

Apa itu operasi biner?

Operasi biner adalah memetakan 2 buah hal (bisa berupa bilangan atau hal yang lain) ke suatu hal yang lain.

2 + 3 = 5 adalah operasi penjumlahan yang memetakan 2 dan 3 ke 5

2 × 3 = 6 adalah operasi perkalian yang memetakan 2 dan 3 ke 6.

Inilah definisi formal perkalian sebagai operasi biner:

Definisi: Operasi perkalian adalah oprasi biner f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} yang berlaku aturan berikut

f\left(1,b\right)=b dan  f\left(a+1,b\right)=f\left(a,b\right)+b, untuk semua a,b\in\mathbb{N}

Operasi perkalian dinotasikan a × b yang berarti a\times b=f\left(a,b\right)

[Catatan: Meskipun definisi berada di dalam bilangan asli \mathbb{N} tetapi dapat diperluas dengan cara yang sama sehingga berlaku pula di bilagan real \mathbb{N}]

Teorema: Operasi perkalian eksis dan tunggal,

Yang dimaksud tunggal dari teorema di atas adalah mustahil ada operasi biner lain selain perkalian yang memenuhi 2 aturan yang tertulis di definisi di atas.

***

Penjumlahan berulang yang diajarkan ke kita ketika SD dahulu sebenarnya merupakan salah satu cara dari sekian banyak cara menghitung perkalian.

2 × 3

bisa dihitung dengan cara:

  • 2 + 2 + 2
  • 3 + 3
  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

Banyak jalan menuju Roma, banyak jalan mengitung operasi perkalian.

Referensi:  Cuthbert Webber, 1966, Number System of Analysis. USA: Addison-Wesley  Publising Co

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in dll and tagged , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to Perkalian bukan penjumlahan berulang

  1. Suharto Joyo says:

    tolong beri contoh dengan definisi perkalian tersebut yaitu akar 2 x phi…..trims

  2. Suharto Joyo says:

    definsi f(a,b) nya mana pak…..itu baru definisi f(1,b) dan f(a+1,b) kan…..

    • Aria Turns says:

      Ya..terserah kita mendefinisikannya asalkane memnuhi 2 aturan / aksioma dari oprasi perkalian.
      Ya serupa dengan mendefinisikan operasi biner dari Grup. Bagaimana mendefinsikannya, terserah kita asalkan memenuhi aksioma2 dari Grup

      • Suharto Joyo says:

        maksud saya definisi di atas itu rekursi kan…..
        f(a,b) = f(a-1,b) + b
        = f(a-2,b) + 2b
        = f(a-3,b) +3b
        = f(a-4,b) +4b
        …..
        = f(a-(a-1),b) + (a-1)b
        = f(1,b) + (a-1)b
        = b + (a-1)b
        = a.b
        berlaku untuk a dan b bilangan asli

        pertanyaan saya, bagaimana caranya diperluas dengan cara yang sama sehingga berlaku pula di bilangan real?

        padahal itu rekursi……kalau diambil a=1,4 dan b =3,14 rekursinya tidak akan mendapatkan f(1,b)=b kan….mohon dibuktikan untuk bilangan real……terimakasih

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s