Mimpi Sophomore

Sumber: Thinkstock.com

Sumber: Thinkstock.com

Kali ini saya kembali membahas salah satu kecantikan matematika yang bernama Mimpi Sophomore. Ada 2 bentuk dari mimpi Sophomore yang pertama adalah

{\displaystyle \int_{0}^{1}x^{-x}dx=1^{-1}}+2^{-2}+3^{-3}+4^{-4}+\ldots

atau dalam bentuk notasi sigma dapat ditulis

{\displaystyle \int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}\approx1,291285997\ldots}

Sedangkan bentuk keduanya adalah

{\displaystyle \int_{0}^{1}x^{x}dx=1^{-1}-2^{-2}+3^{-3}-4^{-4}+\ldots}

atau bisa juga ditulis

{\displaystyle \int_{0}^{1}x^{x}dx=-\sum_{n=1}^{\infty}\left(-n\right)^{-n}\approx0,7834305\ldots}

Bisakah kalian melihat kecantikan dari mimpi Sophomore?

Sekarang mari kita buktikan.

Bukti:

Saya hanya akan membuktikan bentuk pertama saja karena bentuk kedua buktinya serupa.

{\displaystyle \int_{0}^{1}x^{-x}dx=I}

akan dicari nilai I.

Pertama-tama kita ubah fungsi x^{-x} menjadi x^{-x}=\exp\left(-x\ln x\right) maka identitas diatas menjadi:

{\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x\ln x}dx=I}

Diketahui ekspansi deret pangkat dari e^x adalah

{\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}}

Itu berarti

{\displaystyle e^{-x\ln x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x\ln x\right)^{n}}{n!}} yang konvergen seragam pada [0,1]

Diperoleh

{\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x\ln x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{\left(-x\ln x\right)^{n}}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\left(-x\ln x\right)^{n}dx}

Sekarang kita tinggal menghitung \int_{0}^{1}\left(-x\ln x\right)^{n}dx dengan mengunakan metode integral parsial. Diambil

u=\left(-\ln x\right)^{n}\rightarrow du=\left(-1\right)^{n}\frac{n}{x}\left(-\ln x\right)^{n-1}dx

dv=x^{n}\rightarrow v=\frac{1}{n+1}x^{n+1}

diperoleh

\begin{array}{ccc} \int_{0}^{1}\left(-x\ln x\right)^{n}dx & = & \frac{\left(-\ln x\right)^{n}x^{n+1}}{n+1}|_{0}^{1}-\left(-1\right)^{n}\frac{n}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n}\left(-\ln x\right)^{n-1}dx\\ & = & \frac{n}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n}\left(\ln x\right)^{n-1}dx \end{array}

Ulangi terus sehingga diperoleh hasil akhir

{\displaystyle \int_{0}^{1}\left(-x\ln x\right)^{n}dx=\frac{n!}{\left(n+1\right)^{n+1}}}

Gabungkan kembali, diperoleh:

{\displaystyle \int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+1\right)^{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}}

QED

***

Di Amerika sana, sophomore adalah sebutan untuk mahasiswa tahun kedua. Mimpi sophomore adalah “kelanjutan ” dari mimpi Freshman (Mahasiswa baru) yaitu kesalahan yang sering dilakukan mahasiswa tahun pertama , menuliskan (x + y)n = xn + y. Berbeda dengan mimpi Freshman yang keliru, mimpi sophomore bener adanya. Mimpi sophomore memberikan kita perasaan too-good-to-be-true tetapi memang true

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Mimpi Sophomore

  1. suna says:

    Mas, tanggapi yang ini dong, buat postingannya…

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s