Prima dan 24

24 primaDapat dari Halaman facebook We Love Math yang menyatakan bahwa kuadrat dari sebarang bilangan prima (selain 2 atau 3 ) adalah kelipatan 24 ditambah 1. Dengan kata lain pernyataan tersebut mengatakan

Jika p adalah bilangan prima dangan p > 3 maka berlaku p² – 1 = 24 × n, untuk suatu bilangan bulat positif n.

Nah… sekarang mari kita buktikan.

Bukti:

Bilangan Prima p yang lebih besar daripada 3, itu berarti p ganjil. Diketahui perkalian 2 bilangan ganjil hasilnya ganjil pula maka  adalah ganjil. Karena  adalah ganjil maka jelas bahwa p² – 1 adalah genap. Karena genap maka salah satu faktor dari p² – 1 adalah 2.

Dengan pemfaktoran kuadrat, diketahui p² – 1 = (p+1)(p-1). Kita mendapatkan 2 bilangan genap berurutan yaitu p – 1 dan p + 1. Perlu kalian ketahui, jika kita mempunyai 2 bilangan genap berurutan maka salah satunya habis dibagi 4. (mengapa bisa begitu?).  So.. salah satu dari p – 1 dan p +1 mempunyai faktor 4. Karena p² – 1 = (p+1)(p-1) maka kita kembali mendapatkan salah satu faktor dari p² – 1 yaitu 4.

Selajutnya p – 1, p dan p + 1 adalah tiga bilangan berurutan. Satu hal lagi yang perlu kalian ketehaui, jika terdapat 3 bilangan berurutan maka salah satunya habis dibagi 3 (mengapa?). Karena p prima maka mustahil habis dibagi 3 maka yang mungkin habis dibagi 3 adalah p – 1 atau p +1 . Karena p² – 1 = (p+1)(p-1) maka kita kembali lagi mendapatkan salah satu faktor dari p² – 1 yaitu 3.

Sekarang kita telah mendapatkan 3 faktor dari p² – 1 yaitu 2, 3 dan 4, disimpulkan

p² – 1 = 2 × 3 × 4 × n = 24 × n

QED

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Prima dan 24

  1. Sarashanti says:

    kewl!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s