Teorema Isoperimetrik

lingkaranKonon katanya Masyarakat Yunani Kuno sudah mengetahui bahwa lingkaran mempunayai luas terbesar diantara senua bangun datar lainya yang mempunyai keliling yang sama. Inilah yang disebut dengan Teorema Isoperimetrik ( Iso =  Sama, perimetrik = Keliling). Misalkan terdapat trapesium, segi-17, dan lingkaran, ketiganya mempunyai keliling yang sama, Teorema Isoperimetrik menjamin lingkaranlah yang mempunyai luas terbesar daripada trapesium dan segi-17.

Meskipun Yunani kuno yang hidup lebih dari 2300 tahun lalu sudah mengetahui fakta matematis tersebut akan tetapi Teorema Isoperimetrik baru bisa dibuktikan pada abad 19. Secara formal Teorema Isoperimetrik  menyatakan:

Teorema Isoperimetrik: Untuk semua C kurva sederhana tertutup di \mathbb{R}^{2} dengan keliling P dan luas A berlaku

{\displaystyle A\leq\frac{P^{2}}{4\pi}}

Pertidaksamaan diatas akan menjadi persamaan jika hanya jika C adalah lingkaran.

Teorema Isoperimetrik sering juga diseput Pertidaksamaan Isoperimetrik karena memuat pertidaksamaan. Nah sekarang mari kita buktikan.

Bukti:

Diasumsikan C halus (sebenarnya tidak harus halus tapi pembuktiannya lebih rumit) dan didefinisikan \displaystyle z:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{C} fungsi parametic untuk C pada bidang kompleks. Karena C halus maka z'(t) eksis dan kontinyu, diketahui kurva c sederhana dan tertutup, itu berarti z(t) adalah fungsi satu-satu pada [0, 2\pi) dan z(0) = z(\pi).

Diperoleh rumus keliling Kurva:

\displaystyle P = \int_0^{2\pi} |z'(t)|\ dt

dan Luas

\displaystyle A = \frac{1}{2i} \int_C \overline{z} \ dz = \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi}\overline{z(t)} z'(t)\ dt

Dengan melakukan penskalaan pada kurva oleh k akan memperpanjang panjang busur sebesar k dan memperluas luas sebesar k^2. Diasumsikan P=2\pi dan kurva diparametrikkan oleh panjang busur, itu berarti |z'(t)|=1. Dengan meuliskan z(t) dalam bentuk deret fourier diperoleh:

\displaystyle z(t) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{int}

Dengan mentranslasikan kurva oleh c_0, diasumsikan c_0=0 diperoleh:

\displaystyle z(t) = \sum_{n \neq 0} c_n e^{int}.\quad ...(1)

Kita turunkan (1) diperoeleh

\displaystyle z'(t) = \sum_{n\neq 0} c_n (in) e^{int} \quad ...(2)

Subtitusi (2) ke A, diperoleh

\begin{array}{lcl} A &=& \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi}\overline{z(t)} z'(t)\ dt\\&=& \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi} \sum_{m\neq 0} \overline{c_m} e^{-imt} \sum_{n \neq 0} c_n (in) e^{int} \ dt\\&=& \frac{1}{2}\sum_{m\neq 0}\sum_{n\neq 0}\overline{c_m}n c_n \int_0^{2\pi} e^{i(n-m)t}\ dt\\&=& \frac{1}{2}\sum_{m\neq 0}\sum_{n\neq 0}\overline{c_m}nc_n 2\pi \delta(n-m) \\&=& \pi\sum_{n\neq 0} n|c_n|^2. \quad ...(3)\end{array}

Pertukaran sumation dan integral diatas dibenarakan berdasakan konvergen seragam dari deret. Dengan mengunakan relasi Paversal di (2) diperoleh

\displaystyle \sum_{n \neq 0} n^2|c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |z'(t)|^2\ dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} 1\ dt = 1, \quad ...(4)

Diketahui n \leq n^2 dan dari (3) dan (4), diperoleh:

\displaystyle A \leq \pi \sum_{n \neq 0} n^2 |c_n|^2 = \pi, \quad ...(5)

Berdasarkan asumsi diatas P=2\pi, itu berarti P^2 /4\pi =\pi, subtitusikan ke (5) diperoleh

{\displaystyle A\leq\frac{P^{2}}{4\pi},\quad ...(6) }

Jelas, jika C adalah lingkaran maka (6) menjadi persamaan

\square

Referensi: http://ckrao.wordpress.com/2011/03/20/the-isoperimetric-inequality/

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, Complex, pembuktian and tagged , , . Bookmark the permalink.

8 Responses to Teorema Isoperimetrik

  1. Bahalan says:

    Teoremanya dinyatakan dlm lapangan real, mengapa pembuktiannya dlm lapangan kompleks?

    • Aria Turns says:

      Banyak jalan menuju Roma, banyak ara pembuktian dari suatu Teorema. Saya memilih pembuktian dalam lapangan kompleks karena lebih ringkas dari pada pembuktian dl lapangan real. UNtuk pembuktian dalam rela, silahlan lihat
      http://cornellmath.wordpress.com/2008/05/16/two-cute-proofs-of-the-isoperimetric-inequality/

      • Bahalan says:

        Apakah bisa dikatakan bhw suatu teorema yang berlaku pada lapangan kompleks C, juga berlaku pada RxR? Dan sebaliknya.

        • Aria Turns says:

          Tidak karena Lapangan Kompleks mengenal i ( bilangan imajiner) sedangkan RxR tidak mengenalnya.
          Coba kita lihat Identitas Euler e^{i\pi}+1=0, apakah identits itu berlaku di RxR ? Tentu saja tidak

          • Bahalan says:

            Lantas mengapa pembuktian teorema isoperimetrik yg dinyatakan dalam RxR dilakukan dlm C? Apakah ini kasus khusus di mana teorema tersebut berlaku baik dalam RxR dan C? Sepertinya ada suatu langkah pembuktian yg perlu ditambahkan utk menjelaskannya.

            • Aria Turns says:

              Seperti yang sudah saya katakan diatas karena lebih ringkas & sederhana jika dibuktikan di dalam C.
              Kompleks adalah perluasan dari real, dengan kata lain real adalah himpunan bagian dari komples.
              Segala sesutu yang berlaku di kompleks pasti berlaku di real, tetapi sebalinya belum tentu.
              Peraturan di Indonesia pasti juga berlaku di Jawabarat tetepi belum tentu peraturan di Jawabarat berlaku Indonesia

    • Bahalan says:

      Mas Aria, krn lapangan pandang tulisan semakin sempit bila menanggapi tanggapan sebelumnya, maka saya buat yg baru di sini.

      Masih melanjutkan diskusi kita terakhir, bertolak dari pernyataan anda bhw segala sesuatu yang berlaku di kompleks pasti berlaku di real, maka dalam konteks teorema isoperimetrik diatas dpt disimpulkan bhw krn teorema tsb berlaku dlm C, maka pasti berlaku dlm RxR. Begitu ya mas? Mohon konfirmasinya. Trims.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s