x^y=y^x

x^y=y^x

Jelas, jika x=y, apapun bilangan, minumnya teh botol sosro akan selalu memenuhi persamaan diatas tetapi itu sama sekali tidak menarik. Dengan mudah diketahui 2^4=4^2, dengan kata lain 2 dan 4 adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda dari persamaan diatas. Nah..sekarang pertanyaannya adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda selain 2 dan 4?

Diasumsikan x dan y adalah bilangan bulat, diperoleh bilangan rasional k=y/x. itu berarti y=kx, masukkan ke persamaan diperoleh

x^{kx}=\left(kx\right)^{x}

\left(x^{k}\right)^{x}=\left(kx\right)^{x}

berakibat

x^{k}=kx

x^{k-1}=k

Kita mendapatkan solusi umum

{\displaystyle x=k^{\frac{1}{k-1}},\: y=k\cdot k^{\frac{1}{k-1}}=k^{\frac{k}{k-1}}}

Karena k adalah bilangan rasional maka \frac{1}{k-1} adalah bilangan rasional juga. Diasumsikan  \frac{p}{q}=\frac{1}{k-1} dalam bentuk yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Diperoleh:

k-1=\frac{q}{p},\: k=\frac{p+q}{p},\,\frac{k}{k-1}=\frac{p+q}{q}

Masukkan ke solusi umum, diperoleh:

{\displaystyle x=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{p/q},\, y=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p+q}{q}}}

Kita mengininkan x dan y adalah bilangan bulat maka haruslah (p+q)/p, p/q dan (p+q)/q juga merupakan bilangan bulat. Karena p dan q relatif prima maka p+q juga relatif prima terhadap p dan q.  So satu-satunya kemungkinan hanyalah p = q = 1.

Oh sekarang jelas sudah bahwa

{\displaystyle x=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{1/1}=2,\, y=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{\frac{1+1}{1}}=4}

Satu-satunya pasanangan bilangan bulat berbeda yang menjadi solusi dari persamaan diatas.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s