Logaritma Tukaran

Logaritma, seinget saya, materi tersebut saya pelajari ketika SMP. Ngomong-ngomong tentang logaritma, saya baru aja menemukan sifat yang menarik mengenai hal tersebut.

^{a}\log\left(x\right)^{b}\log\left(y\right)={}^{b}\log\left(x\right)^{a}\log\left(y\right)

Ternyata jumlah perkalian 2 pecahan yang berbeda basis akan tetap sama tidak berubah meskipun basisnya ditukar. Mm… menarik bukan?

Untuk membuktikannya kita menggunakan 2 sifat Logaritma yaitu:

(1) ^{a}\log\left(x\right)=\frac{^{b}\log\left(x\right)}{^{b}\log\left(a\right)}

(2) ^{b}\log\left(a\right)=\frac{1}{^{a}\log\left(b\right)}

Sifat yang pertama sudah  diketahui banyak orang. Sering digunakan untuk mengitung logaritma yang basisnya bukan 10 di kalkulator, contohnya : ^{4}\log\left(64\right)=\frac{^{10}\log\left(64\right)}{^{10}\log\left(4\right)}=3. Sifat kedua sepertinya jarang diketahui banyak orang, sifat kedua ini dsebut sifat kebalikan logaritma.

Pertama-tama kita buktikan terlebih dahulu kedua sifat diatas:

(1) Andaikan ^{a}\log\left(x\right)=c\Rightarrow a^{c}=x

Diperoleh ^{b}\log\left(x\right)=^{b}\log\left(a^{c}\right)=c{}^{b}\log\left(a\right)

Disimpulkan c=^{a}\log\left(x\right)=\frac{^{b}\log\left(x\right)}{^{b}\log\left(a\right)}

(2) Andaikan ^{a}\log\left(b\right)=c\Rightarrow b=a^{c}

Diperoleh b^{1/c}=a\Rightarrow^{b}\log\left(a\right)=1/c

Disimpulkan ^{b}\log\left(a\right)=1/c=1/{}^{a}\log\left(b\right)

Selanjutnya kita buktikan ^{a}\log\left(x\right)^{b}\log\left(y\right)={}^{b}\log\left(x\right)^{a}\log\left(y\right)

Dari (1) diperoleh

^{a}\log\left(x\right)=\frac{^{b}\log\left(x\right)}{^{b}\log\left(a\right)} dan ^{b}\log\left(y\right)=\frac{^{a}\log\left(y\right)}{^{a}\log\left(b\right)}

itu berarti:

^{a}\log\left(x\right){}^{b}\log\left(y\right)=\frac{^{b}\log\left(x\right){}^{a}\log\left(y\right)}{^{b}\log\left(a\right){}^{a}\log\left(b\right)}

Dari (2) diperoleh, ^{b}\log\left(a\right)=\frac{1}{^{a}\log\left(b\right)}\Rightarrow^{b}\log\left(a\right)^{a}\log\left(b\right)=1

Disimpulkan

^{a}\log\left(x\right)^{b}\log\left(y\right)={}^{b}\log\left(x\right)^{a}\log\left(y\right)

QED

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in dll and tagged , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Logaritma Tukaran

  1. saya membenci berandai-andai, tapi….. seandainya saya menemukan blog ini dari dulu hehe

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s