Batas Kekosongan

Sumber: lauralavigne.com

Sumber: lauralavigne.com

Definisi: Diberikan A\subseteq\mathbb{R} dikatakan terbatas ke atas, jika terdapat bilangan real u\in\mathbb{R} yang disebut batas atas, sedemikian hingga a\leq u, untuk semua a \in A. Hal yang serupa A dikatakan terbatas ke bawah,  jika terdapat bilangan real t\in\mathbb{R} yang disebut batas bawah, sedemikian hingga t\leq a, untuk semua a \in A.

Contoh: Interval terbuka I=\left(0,4\right), apa batas atasnya? Yaitu semua bilangan real yang lebih besar dari 4, bagaimana dengan 4? Ya, 4 juga batas atasnya. Sedangkan batas bawahnya adalah semua bilangan real yang kurang atau sama dengan 0.

Dari contoh diatas terlihat bahwa batas atas dan batas bawah tidak lah tunggal bahkan ada tak hingga banyaknya. Selanjutnya tentang  supremum dari suatu himpunan yaitu batas atas terkecil dan infimum yaitu batas atas terbesar dari suatu himpunan

Definisi:  Diberikan A\subseteq\mathbb{R}, bilangan p\in\mathbb{R} disebut supremum dari A dinotasikan \mathbf{sup}\, A=p, jika p merupakan batas atas dan p paling kecil daripada batas atas yang lain dari A. Hal yang serupa  bilangan q\in \mathbb{R} disebut infimum dari A dinotasikan \mathbf{inf}\,A=q, jika q merupakan batas bawah dan q paling besar daripada batas bawah yang lain dari A.

Jika A tidak terbatas ke atas, maka kita notasikan \mathbf{sup}\, A=\infty, sebaliknya  Jika A tidak terbatas ke bawah, maka kita notasikan \mathbf{inf}\, A=\infty.

Note: \pm\infty bukanlah bilangan hanyalah suatu konsep untuk menunjukkan sesuatu yang tak terbats yang tak terhinngga sehingga mustahil di representasikan dalam suatu bilangan. Baik dalam pengertian positif ataupun negatif.

Contoh:  

  • I=\left(0,4\right), maka \mathbf{sup}\, I=4, dan \mathbf{inf}\, I=0.
  • Himpunan bilangan bulat positif \mathbb{Z}^{+} maka \mathbf{sup}\,\mathbb{Z}^{+}=\infty dan \mathbf{inf}\,\mathbb{Z}^{+}=1
  • Himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} maka \mathbf{sup}\,\mathbb{Q}=\infty dan \mathbf{inf}\,\mathbb{Q}=-\infty

Nah.. sekarang pertanyaannya

Bagaimana dengan himpunan kosong \emptyset? apa \mathbf{sup}\,\emptyset dan \mathbf{inf}\,\emptyset ?

Kita bahas terlebih dahulu \mathbf{sup}\,\emptyset , untuk menentukan \mathbf{sup}\,\emptyset. Kita harus melihat batas atas dari  \emptyset. Karena himpunan kosong tidak ada isinya maka semua bilangan bisa menjadi batas atasnya so.. batas atas terkecilnya adalah \mathbf{sup}\,\emptyset=-\infty. Dengan argumentasi yang serupa kita mendapatkan\mathbf{inf}\,\emptyset=\infty.

Jadi himpunan kosong adalah himpunan tak terbatas akan tetapi didalam himpunan kosong bisa kita katakan atas dan bawahnya kebalik-bolak.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Batas Kekosongan

  1. vinanry says:

    contohnya k ?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s