Irisan kekosongan adalah segalanya

Sumber: lauralavigne.com

Sumber: lauralavigne.com

Himpunan yang isinya adalah himpunan juga, disebut Keluarga Himpunan ( Family of Set)

Contoh 1:  A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} ,  C = (1, 2, 3, 4},  D = {1, 2, 3, 4, 5} maka

F = { A, B, C, D} adalah keluarga himpunan

Andaikan S adalah keluarga himpunan, irisan semua himpunan yang berada didalam S disebut irisan atas S, dinotasikan ∩S

Contoh 2: Dari contoh 1 maka irisan atas F adalah ∩F = A ∩ B ∩ C ∩ D = {1,2}

Secara formal irisan atas keluarga himpunan S didefinisikan sebagai berikut:

{\displaystyle \bigcap S=\left\{ x:\left(\forall X\right)\left(X\in S\Rightarrow x\in X\right)\right\} }

Kita mengenal himpunan kosong, dinotasikan \emptyset yaitu himpuan yang tidak ada isinya, kosong belaka. Nah.. jika himpunan boleh kosong, apakah keluarga himpunan boleh kosong? Tentu saja boleh, kita notasikan \Phi sebagai keluarga kosong, keluarga himpunan yang tidak ada isinya.

Nah.. sekarang pertanyaannya:

Apa itu \bigcap\Phi ? Apa itu irisan atas keluarga kosong?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita harus mencari sesuatu x  yang memenuhi pernyataan

X\in\Phi\Rightarrow x\in X

Pernyataan diatas berbentuk implikasi. Coba kalian perhatikan antisedennya yaitu X\in\Phi bernilai salah. Karena \Phi adalah keluarga kosong yang tidak ada isinya. Dalam Teori Logika, kalimat implikasi akan selalu benar jika antisedennnya salah.

So.. apapun x akan selalu memenuhi pernyataan X\in\Phi\Rightarrow x\in X. Sekarang dapat kita simpulkan

\bigcap\Phi=\mathbb{S}

Dengan \mathbb{S} adalah himpunan semesta yaitu himpunan yang memuat segalanya.

Telah kita buktikan secara matematis bahwa himpuan semseta yang memuat segalanya merupakan irisan dari kekosongan. Mmm.. jadi teringat perkataan biksu Tong Sam Tjong di film serial kera sakti

Isi adalah kosong, kosong adalah isi

***

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in himpunan and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

15 Responses to Irisan kekosongan adalah segalanya

  1. fitri says:

    bagaiman membuktikan
    A iris himp.kosong adalah himp.kosong
    A gabung himp.kosong adalah himp A
    trims

  2. Pras says:

    Maaf Mas, saya pikir terdapat sedikit kesalahan pada notasi kuantifier yang Anda gunakan.

    “Untuk semua X anggota Phi berlaku maka x anggota X”

    (saya tidak tahu cara menulis rumusnya jadi saya pakai bahasa Indonesia saja)

    Dengan demikian kalimat di atas bisa diuraikan menjadi

    “Untuk semua X anggota Phi berlaku P(X)”
    dengan P(X) = “maka x anggota X”, yang bukanlah sebuah kalimat yang valid dalam first order logic. Operator biner “maka” seharusnya diapit oleh dua anak kalimat, sementara pada P(X) di atas tidak ada anteseden-nya.

    Kalimat yang valid adalah:

    “Untuk semua X anggota Phi berlaku, jika …. maka x anggota X.” (… perlu diisi dengan kalimat)

    Saya mencoba merangkai notasi tersebut dalam cara yang berbeda, salah satunya “Untuk semua X, berlaku jika anggota Phi maka x anggota X,” namun juga bukan kalimat yang valid.

    Mungkin juga dapat dinuliskan tanpa kuantifier, karena kalimatnya menjadi valid dan bisa dimengerti: “Jika X anggota Phi maka x anggota X,” tetapi jadi kehilangan domainnya.

    Atau, mungkin operator “maka” dihilangkan saja, sehingga kalimatnya menjadi “Untuk semua X anggota Phi, berlaku x anggota X,” yang mungkin paling dekat dengan yang Anda maksud.

    Maaf jika ternyata saya yang salah memahami tulisan atau simbol yang Anda pakai.

    Terima kasih.

  3. frabily says:

    bagaimana cara membuktikan himpunan kosong itu tunggal?

  4. Rismanto says:

    Saya mencoba menyanggah, mohon dikoreksi jika tidak tepat. Saya angkat dari level definisi.

    Seperti disebutkan, definisi dari keluarga himpunan adalah himpunan yang isinya adalah himpunan juga.
    Nah kalo himpunan kosong, berarti tidak ada isinya, apakah bisa dikatakan sebagai keluarga himpunan ?

    • Hadi says:

      \forall X\in\Phi\Rightarrow x\in X

      Pernyataan diatas berbentuk implikasi. Coba kalian perhatikan antisedennya yaitu \forall X\in\Phi bernilai salah. Karena \Phi adalah keluarga kosong yang tidak ada isinya. Dalam Teori Logika, kalimat implikasi akan selalu benar jika antisedennnya salah.

      Sebenarnya bukti ini hampir mirip (klo gak salah) dengan pembuktian semua himpunan memiliki himpunan kosong. Jika suatu semesta terdiri dari himpunan A,B,C,D, dan seterusnya yang semuanya himpunan kosong, maka jika diiris hasilnya adalah himpunan semesta yang isinya himpunan kosong. :3 CMIIW

      • vinanry says:

        apa iya ,, setiap perkara matematik bisa & benar jika dihubungkan dengan logika ??

        hehehhe…. maaf bukan bermaksud menyanggah ato apa ,
        cuman pengen tau kepastiannya ajha 🙂
        tq k…

        • Aria Turns says:

          Ya..karena dasar matematika adalah logika

        • Rismanto says:

          setuju.
          Matematika justru berdasar pada logika.
          Tidak pada hitungannya.

          Semua masalah seharusnya bisa dimodelkan dalam model matematika, dan kemampuan memodelkan suatu masalah dan menyelesaikannya bergantung pada kemampuan logikanya

          Semua rumus/formula/model di semua bidang ilmu (ekonomi, biologi, fisika) didasarkan pada logika.

          hehehehe
          (Maaf om satria, jadi OOT)

    • Aria Turns says:

      Mmm…pertanyaan yg bagus, mempertanyakan eksistensi keluarga Kosong. Mari kita tengok himpunan kosong, menurut wikipedia, definisi dari himpunan adalah

      a set is a collection of distinct objects

      Apakah himpunan memenuhi definisi di atas?
      Eksistensi dari himpunan kosng dijamin oleh aksioma himpunan kosong . So aksioma itu pula lah yang menjamin keberadaan keluarga kosong

      • Rismanto says:

        mmmm, rasanya masih belum tepat.

        Aksioma himpunan kosong memang ada dan benar, namun jika dikatakan aksioma itu juga menjamin keberadaan keluarga kosong saya kurang setuju.

        Begini,
        definisi dari keluarga himpunan berdasarkan artikel di atas adalah
        “HIMPUNAN yang isinya adalah himpunan juga”
        nah, jika tidak ada isinya tidak berarti adalah
        “HIMPUNAN yang tidak ada isinya”
        dan ini adalah himpunan kosong, bukan keluarga kosong

        hehehe, mudah-mudahan mengerti maksud saya.
        Namun, kembali saya katakan, mohon dikoreksi jika salah karena saya tidak menggunakan referensi apa-apa, hanya artikel ini dan pemahaman saya selama ini.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s