Kemungkinan 2 bilangan adalah relatif Prima

Dua bua bilangan a dan b  dikatakn relatif prima (atau disebut juga koprima) jika fpb (a,b)=1, dengan kata lain a dan b tidak mempunyai faktor prima bersama.

Contoh: 10 dan 13 adalah relatif prima, begitupula 31 dan 36 juga merupakan relatif prima, sedangkan 50 dan 65 bukan relatif prima.

Nah sekarang pertanyaannya:

Berapa kemungkinan 2 bilangan yang dipilih secara acak  merupakan relatif prima?

Untuk menjawab pertanyaan diatas, kita akan mengunakan lemma berikut:

Lemma: Diberikan bilangan prima p, kemungkinan suatu bilangan yang dipilih secara acak mempunyai faktor prima p adalah 1/p

Bukti: Dinotasikan \mathbb{Z}_{p} , Grup modulu bilangan bulat p. Jika suatu bilangan n mempunyai faktor prima p, itu berarti n berada di dalam kelas kongruen 0\in\mathbb{Z}_{p}. Banyaknya kelas kongruen di \mathbb{Z}_{p} adalah p. So.. kemungkinan suatu bilangan dipilih secarak acak berada di dalam kelas kongruen 0\in\mathbb{Z}_{p} adalah 1/p.

Akibat: Diberikan bilangan prima p serta a dan b dua bilangan yang dipilih secara acak maka berlaku

    1. Kemungkinan  a dan b mempunyai p sebagai faktor prima bersama adalah 1/p^2
    2. Kemungkinan a dan b TIDAK  mempunyai p sebagai faktor prima bersama adalah 1-1/p^2.

Dari akibat diatas, kita tahu kemungkinan suatu bilangan prima p tidak menjadi faktor prima bersama dari 2 buah bilangan adalah 1-1/p^2. So.. kemungkinan SEMUA bilangan prima tidak  menjadi faktor prima bersama dari 2 buah bilangan adalah

{\displaystyle \left(1-\frac{1}{p_{1}^{2}}\right){\displaystyle \left(1-\frac{1}{p_{2}^{2}}\right)\ldots{\displaystyle \left(1-\frac{1}{p_{i}^{2}}\right)}}}

untuk semua p_{i}\in P Himpunan  bilangan prima. Persamaan diatas bisa ditulis sebagai berikut

{\displaystyle \prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{2}}}

Bagaimana menghitungnya?

Kita akan menggunakan fungsi Zeta

{\displaystyle \zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\left({\displaystyle \prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{s}}}\right)^{-1}}

Itu berarti

{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{\zeta\left(s\right)}=\prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{s}}}

Di ambil s=2 diperoleh

{\displaystyle \zeta\left(2\right)=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots}

Ah.. kita mendapatkan masalah Basel, sudah pernah saya bahas di sini. Kita mendapatakan \zeta\left(2\right)=\pi^{2}/6

 Sekarang barulah dapat kita simpulkan

{\displaystyle \prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{\zeta\left(2\right)}=\frac{6}{\pi^{2}}}.

So.. jawaban dari peratnyaan daiats adalah \frac{6}{\pi^{2}}\approx0,6079.  Ternyata kemungkinan 2 bilangan menjadi relatif prima cukup besar lebih dari 60%

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in probabilitas, Teori Bilangan and tagged , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Kemungkinan 2 bilangan adalah relatif Prima

  1. pengamat matematika says:

    jika a dan b dua bilangan yang saling prima (relatif prima), maka kelipatan persekutuannya adalah 2ab, 3 ab, 4 ab…

  2. sshofiyyah says:

    Apakah bilangan saling prima dan relatif prima itu berbeda?

  3. woohoo says:

    permisi, may tanya yg dicontoh itu. bukannya 33 dan 36 FPBnya 3, ya?

  4. bisa digeneralisasi : kemungkinan n bilangan asli relatif prima = 1/(zeta(n))

    • Aria Turns says:

      Yup…bisa digenaralisasi seperti itu.
      Baru aja cek di wolframalpha.com bahwa
      zeta(n)=1 jika n->infinity dengan n bilangan asli
      So semakin buanyak bilangan yang ambil semakin besar kemungkinannya untuk menjadi relatif prima

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s