1, 2, 3, pi

{\displaystyle \arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi}

Bagaimana cantik sekali bukan persamaan diatas? Jika kalian baru pertamakali melihat si cantik diatas, tidak perlu berkecil hati karena saya sendiri baru melihatnya kemarin 🙂

Bukti:

Untuk membuktikan si cantik  kita akan mengunakan aturan tangent yang sudah dikenal banyak orang:

{\displaystyle \tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}

Itu berarti

{\displaystyle \left(\alpha+\beta\right)=\arctan\left(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\right)} (i)

Jika \tan\alpha=a dan \tan\beta=b maka \arctan a=\alpha dan  \arctan b=\beta , kita subtitusikan ke (i), diperoleh:

{\displaystyle \arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)} (ii)

Sekarang kita akan menggunakan (ii), untuk menghitung {\displaystyle \arctan1+\arctan2+\arctan3}

{\displaystyle \left(\arctan1+\arctan2\right)+\arctan3}

{\displaystyle \arctan\left(\frac{1+2}{1-1\cdot2}\right)+\arctan3}

{\displaystyle \arctan-3+\arctan3}

{\displaystyle \arctan\left(\frac{-3+3}{1-\left(-3\cdot3\right)}\right)}

{\displaystyle \arctan0}

Kita tahu \arctan0\in\left\{ 0,\pi\right\} , yang jadi pertanyaan nilai \arctan0 yang mana yang harus kita pilih? Kita tahu \tan\theta bernilai posisitif jika \theta terletak di kuadran pertama. Itu berarti \arctan1\arctan2 dan \arctan3 berada di kuadran pertama. So..dapat disimpulkan

{\displaystyle \arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi}

\square

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to 1, 2, 3, pi

  1. mafmal21 says:

    persamaan (i) kayanya salah mas, harusnya yang di dalam kurung bukan arctan(beta), tapi tan(beta)

  2. e^(i.(arctan 1 + arctan 2 + arctan 3)) + 1 = 0

  3. vinanry says:

    blom blajar yg kebeginian ni mas,, jd ta tw .
    😀
    plajaran tingkat brapa y ? kalo boleh tw 🙂

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s