Cara Lebih Sederhana

kelipatan 13

Di postingan sebelumnya saya membahas soal di atas dengan menggunakan konsep-konsep matematis tingkat lanjut yang saya pelajari ketika kuliah, padahal soal tersebut termuat didalam BSE matematika kelas 7 kurikulum 20013  Hal tersebut membuat saya bertanya-tanya bisakah soal di atas dikerjakan dengan cara lebih sederhana, dalam artian menggunakan konsep-konsep matematis yang lebih mendasar yang bisa dipahami oleh siswa SMP. Ah, ternyata bisa! soal tersebut bisa dikerjakan dengan faktorisasi dan perpangkatan, dua konsep matematis yang sudah dipelajari siswa SMP. Saya akan menggunakan Teorema berikut:

Teorema: Diberikan bilangan ganjil n maka untuk sebarang a dan b berlaku

a^{n}+b^{n}=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}-\ldots-b^{n-2}a+b^{n-1}\right)

Sekrang deret pada soal akan saya susun ulang sebagai berikut:

M=\left(1^{2001}+2001^{2001}\right)+\left(2^{2001}+2000^{2001}\right)+\ldots+\left(1000^{2001}+1002^{2001}\right)+1001^{2001}

Dengan menggumakan teorema diatas setiap penjumlahan pangkat 2001 yang berada didalam tanda kurung di M dapat difaktorisasi sebagai berikut

1^{2001}+2001^{2001}=\left(1+2001\right)\left(1^{2000}-2001\cdot1^{1999}+\ldots-+2001^{2000}\right)

2^{2001}+2000^{2001}=\left(2+2000\right)\left(2^{2000}-2000\cdot2^{1999}+\ldots-+2000^{2000}\right)

:

:

:

1000^{2001}+1002^{2001}=\left(1000+1002\right)\left(1000^{2000}-1002\cdot1000^{1999}+\ldots-+1002^{2000}\right)

Perhatikan sisi kanan faktorisasi-faktorisasi diatas, semua \left(1+2001\right),\left(2+2000\right) sampai dengan \left(1000+1002\right) mempunyai jumlah yang sama yaitu 2002. Nah 2002 ini ternyata kelipatan 13 . So.. dapat kita simpulkan semua yang berada dalam tanda kurung di M merupakan kelipatan 13. Lalu bagaimana dengan suku terakhir M yaitu 1001^{2001}, karena 1001 adalah kelipatan 13 maka jelas 1001^{2001} juga kelipatan 13. Sekarang dapat disimpulkan M adalah kelipatan 13.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Cara Lebih Sederhana

  1. ini soal olimpiade SMP kukerjain pake cara diatas

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s