Kelipatan 13

Saya pernah membahas soal-soal yang terdapat di BSE matematika kelas 7 kurikulum 2013, kali ini saya kembali melakukan hal yang sama. Cukup satu soal yang akan saya bahas yaitu soal no 9  di hal 124.

kelipatan 13

Dinotasikan S=1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+4^{2001}+5^{2001}+\ldots+2001^{2001}. Untuk mengerjakan soal no 8 ini yang saya lakukan adalah mengkonversikan S didalam  \mathbb{Z}_{13} lalu membuktikan bahwa S=0\in\mathbb{Z}_{13}.

Kita akan menggunakan teorema kecil Fermat

Teorema Kecil Fermat: Untuk sebarang bilangan bulat a dan p prima yang bukan merupakan faktor dari a maka berlaku a^{p-1}\equiv1\pmod p

Diketahui 13 adalah prima maka berdasarkan Teorema kecil Fermat untuk setiap bilangan bulat a yang tidak habis dibagi 13 berlaku a^{12}\equiv1\pmod {13}.

Diketahui pula 2001=166\cdot12+9 diperoleh

a^{2001}=a^{\left(166\cdot12\right)+9}=a^{166\cdot12}a^{9}\equiv a^{9}\pmod {13}

Sekarang, kita bisa menuliskan S di dalam \mathbb{Z}_{13} sebagai berikut:

\begin{array}{ccc}    S & = & 1^{9}+2^{9}+3^{9}+4^{9}+5^{9}+6^{9}+7^{9}+8^{9}+9^{9}+10^{9}+11^{9}+12^{9}+0+\ldots+10^{9}+11^{9}+12^{9}\\    & = & 1^{9}+2^{9}+3^{9}+4^{9}+5^{9}+6^{9}+7^{9}+8^{9}+9^{9}+10^{9}+11^{9}+12^{9}+\ldots+10^{9}+11^{9}+12^{9}    \end{array}

Dinotasikan s_{12}=1^{9}+2^{9}+3^{9}+4^{9}+5^{9}+6^{9}+7^{9}+8^{9}+9^{9}+10^{9}+11^{9}+12^{9}, diatas terlihat bahwa S hanya perulangan dari  s_{12}. Jadi untuk membuktikan S=0, cukup dibuktikan  s_{12}=0.

Jika g adalah primitive root dari modulo 13 maka  \left\{ 1,2,3\ldots,12\right\} dapat ditulis dalam bentuk \left\{ g^{0},g^{1},g^{3}\ldots,g^{11}\right\} . diperoleh:

\begin{array}{ccc}    s_{12} & = & 1^{9}+2^{9}+\ldots+12^{9}\\    & = & g^{0\cdot9}+g^{1\cdot9}+\ldots+g^{11\cdot9}\\    & = & 1+q+q^{2}+\ldots+q^{11}    \end{array}

dengan q=g^9.

Kita mendapatkan deret geometri dengan 12 suku pertama 1 dan r=q, diperoleh

{\displaystyle s_{12}=\frac{q^{12}-1}{q-1}}

Berdasarkan Teorema kecil Fermat maka

s\left(q-1\right)=q^{12}-1=0

karena g adalah primitive root dan  q=g^{9}\neq1 maka dapat disimmpulkan S=0

***

Bagaimana pendapat kalian? Saya mengerjakan soal yang ditunjukkan kepada anak-anak yang baru lulus SD dengan materi-materi tingkat lanjut yang saya pelajari ketika saya kuliah dulu. Bukan, bukan saya mau pamer materi yang saya pelajari ketika kuliah tetapi memang begitu satau-satunya cara yang saya saya ketahui untuk mengerjakan soal tersebut. Okey saya sebenarnya menemukan cara lain tetapi tetap menggunakan aritmatika modular, suatu konsep yang belum dipelajari oleh siswa kelas 7.

Jika kalian tahu cara yang lebih elementer, bisa dipahami anak SMP, saya amat senang mengetahuinya.

Saya sempet googling dan menemukan soal-soal sejenis, dikatakan soal-saoal tersebut tingkatannya untuk perguruan tinggi. Jadi di BSE kelas 7 SMP ada soal tingkat lanjut untuk mahasiswa. Ya… mari kita ucapkan selamat datang math phobia 😦

Update 6 september

saya baru ngeeh ternyata soal diatas bisa digeneralisasi. Diketahui 13 adalah prima dan jelas 2001 > 13, selain itu hubungan 13 dan 2001 adalah 2001\equiv-1\pmod{13}. Dengan kata lain 2001 adalah kelipatan 13 kurang 1. Dari sini soal diatas bisa digeneralisasi sebagai berikut:

Teorema: Diberikan bilangan prima p dan bilangan bulat n>p dengan n\equiv-1\pmod p maka

1^{n}+2^{n}+3^{n}+\ldots+n^{n}

kelipatan p.

Bukti: Serupa dengan pembuktian di atas, silahkan kalian coba sendiri 🙂

Misalkan, diberikan bilangan prima 991 dan bilangan 990.999, jelas 990999\equiv-1\pmod{991} maka teorema diatas menjamin bahwa 1^{990999}+2^{990999}+3^{990999}+\ldots+990999^{990999} adalah kelipatan 991.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, Teori Bilangan and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Kelipatan 13

  1. opang says:

    yah,materi kuliah y pak?sbenarnya kurikulum 2013 mnurut standar apa pak?biar anak SMP sdh bsa mengerjakan soal pkuliahan?

  2. yang update 6september itu teoremanya teorema wilson ya ?

  3. Ade says:

    Siswa SMP belum tahu modular. Saya telah mencobakan soal tersebut dalam berbagai situasi yang kira-kira mirip. Tapi belum bisa ditemukan juga. Maksudnya, kalau lewat aritmetika modular yang mudah-mudah saja dikerjakan tapi untuk siswa smp kelas VII modular belum cocok diberikan.

  4. Nesi says:

    Bsa tolong d share cara yg d bku olimpiade krya suwah sembiring itu? Mksh

  5. tian says:

    Saya aja pertama kali tau fermat pas pembinaan osp bulan juni kemaren -_-

  6. suhendra says:

    di buku matematika olimpiade utk SMA karya suwah sembiring ada dibhas soal ini/ dan cara pembuktianx lbh sederhana.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s