Geometri Non-Euclidian

Sumber: graniteschools.org

Sumber: graniteschools.org

Geometri yang yang kita pelajari di Sekolah dari tingkat SD- SMA adalah Geometri Euclidean, dinamakan demikian karena Geometri tersebut dirumuskan oleh Euclid sekitar 300 SM. Geometri Euclid adalah Geometri bidang datar, yang menjelaskan sifat-sifat titik dan garis pada bidang datar. Euclid menyadari bahwa titik dan garis yang digambarkan di selembar kertas mempunyai sifat-sifat yang konsisten. Dari sinilah dia menuliskan 5 aksioma bagi Geometrinya yang dikenal dengan sebutan Lima Postulat.

  1. Suatu potongan garis lurus dapat digambar dengan cara menghubungkan dua titik yang berbeda
  2. Suatu potongan garis dapat diperpaanjang menjadi tak hinnga panjangnya.
  3. Suatu Potongan Garis bisa menjadi jari-jari bagi suatu lingkaran dengan salah satu ujung garis menjadi titik pusat bagi lingkaran tersebut.
  4. Semua sudut siku-siku itu sama
  5. Jika 2 buah garis memotong memotong garis ketiga membentuk dua sudut dalam yang jumlah sudutnya kurang dari jumlah 2 sudut siku-siku maka kedua garis tersebut akan berpotongan satu sama lain

Postulate ke-5 dinamakan Postulate Kesejajaran, Mengapa? Karena menurut Postulate ke-5, dua garis akan sejajar jika dipotong oleh suatu garis maka jumlah 2 sudut dalam yang terbentuk adalah 180°. Nah…postulate kesejajaran ini ekuivalen dengan Aksioma Fair Play

Aksioma Fairplay: Diberikan garis lurus g dan titik P yang bukan berada di g maka hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajara dengan garis g.

Pada abad ke-19,  Para Matematikawan mulai berpikiran “bagaimana jika Postulate kesejaran tidak berlaku?”. Akibatnya pemikiran ini timbulah Geometri baru dimana postulate kesejajaran tidak berlaku tetapi postulate 1-4 tetap berlaku. Geometri baru inilah yang disebut Geometri non-Euclidian. Ada 2 macam Geometri non-Euclidian yaitu Geometri Elliptik dan Geometri Hiperbolik

Geometri Elliptik

Dalam Geometri ini Tidak ada Garis yang sejajar, dengan kata lain semua garis berpotongan satu sama lain. Itu berarti aksioma Fairplay pada geometri ini menjadi

Diberikan garis lurus g dan titik P yang bukan berada di g maka TIDAK ADA garis yang melalui P dan sejajar dengan garis g.

Geometri Elliptik sering disebut Geometri spherical, diambil dari kata sphere yang artinya permukaan bola. Geometri ini membahas sifat-sifat titik dan garis pada permukaan bola. Garis pada Geometri ini adalah Lingkaran besar (Great Circle) yaitu lingkaran terbesar yang bisa di gambar pada permukaan bola. Itu artinya lingkaran besar mempunyai keliling dan jari-jari yang dengan permukaan bolanya, serta mempunyai titik pusat yang sama. Silahkan kalian gambar 2 lingkaran besar pada permukaan bola pasti kedua lingkaran tersebut berpotongan.

geometri elliptikMungkin kalian akan berpikir “Jika garis adalah lingkaran besar itu artinya panjangnya berhinnga dong, bertentangan dengan postulat 2 ?” Bukan-bukan begitu, dalan geometri elliptik, garis bisa memutari dirinya sendiri terus menerus tak hingga kali.

Sedangkan pengertian titik pada Geometri Elliptik sama dengan Geometri Euclidean. Jika pada  Geometri Euclidean jumlah sudut segitiga selalu 180° maka dalam Geometri Elliptik jumlah sudut segitiga selalu lebih besar dari 180° (tetapi selalu kurang dari 900°).

segitiga elliptik

Pada navigasi, Geometri Elliptik inilah yang digunakan karena kita hidup di permukaan bumi yang bulat bukan di permukaan datar.

Geometri Hiperbola

Pada Geometri Hiperbola ini bidangnya adalah Cakram Poincare. Titik berada didalam cakram sedangkan garis adalah tali busur melingkar yang tegak lurus dengan batas cakram.

cakram poincare

cakram poincare

Sekali lagi mungkin kamu akan berpikir ” Kalau begitu garis pada Cakram poincare itu berhingga, dong?” Itu jika kita menghitung dengan cara biasa, cara Euclidean. Kita akan menggunakan kalkulus untuk mengitung panjang tali busur melintang pada cakram Poincare. Kita notasikan turunan tali busur: ds yang memenuhi {\displaystyle ds^{2}=\frac{dx^{2}+dy^{2}}{\left(1-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)^{2}}}. Jika kita notasikan D adalah diamter cakram dari (-1,0) sampai (1,0), diperoleh panjang:

{\displaystyle \int_{D}ds=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right||_{-1}^{1}=\infty}.

Jadi secara umum garis pada Geometri Hiperbola mempunyai paanjang tak hingga.

Pada Geometri Hiperbola, aksioma Fairplay menjadi:

Diberikan garis lurus g dan titik P yang bukan berada di g maka ADA TAK HINGGA BANYAKNYA garis yang melalui P dan sejajar dengan garis g.

aksioma Fairplay pada Geometri hiperbola

Jika pada Geometri Elliptik, jumlah sudut segitiga selalu lebih dari  180° maka pada Geometri Hiperbola yang terjadi adalah sebaliknya selalu kurang dari 180°.

Segitiga pada Geometri Hiperbola

Einstein menggunakan Geometri Hiperbola ini sebagai dasar dari Teori relavitasnya.

Kesimpulan

Dari apa yang kita bahas maka kita peroleh perbedaan Geometri Euclidean dengan Geometri Non-Euclidean dalam bentuk tabel.

Tabel Geometri

Sebenarnya sich perbedaannya masih ada lagi, tapi ntar dech lain waktu saya bahas lagi tentang Geometri Non-Euclidean 🙂

Referensi:

Dr. Robert Gardner, A Quick Introduction to Non-Euclidean Geometry, 2006

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri and tagged , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to Geometri Non-Euclidian

  1. Awhy says:

    Makasi pak, sangat bermanfaat..

  2. pep says:

    makasih banyak pak infonya

  3. ditunggu bahasan selanjutnya, mas…

  4. Ramdhan says:

    selain geometri euclidean dan non-euclidean apakah ada geometri lain?
    kalau geometri aljabar itu seperti apa ya?

    • Aria Turns says:

      Ada banayak macam Geometri tergantung bagaimana kita medefiniskan jarak anatara satu titik dengan titik yang lain.
      Maksumu Algebraic geometry? Itu adalah cabang matematika yangf mempelajari bentuk2 Geometris dari persamaan aljabar.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s