Tiga Narapidana

Sumber: telegraph.co.uk

Sumber: telegraph.co.uk

Ada tiga orang Narapidana sebut saja Acong, Bodat dan Codet yang ditempatkan pada sel terpisah. Ketiganya dijatuhi hukuman mati tetapi baru saja salah satu dari mereka mendapat Grasi dari Presiden. mereka tidak tahu siapa yang mendapatkan grasi dan para Sipir dilarang memberi tahu. Si Acong memohon kepada seorang sipir, jika dia tidak boleh tahu siapa yang menerima Grasi maka sebutkan saja siapa yang bakal dieksekusi:

Jika si Bodat yang dapat garasi sebut nama Codet

Jika si Codet yang dapat, sebut nama Bodat

Jika saya yang dapat, lemparkan koin lalu putuskan sebut nama Bodat atau Codet.

Sipir cuman menjawab ” Si Bodat bakal dieksekusi”. Acong percaya sipir berkata jujur, dia merasa senang karena menurutnya peluang dia mendapatkan grasi meningkat dari 1/3 menjadi 1/2, tinggal dia atau Codet yang dapat Grasi.

Si Acong memberitahukan kabar ini kepada Codet, Tentu saja Codet senang mendengarnya tetapi dia berpendapat peluang Acong mendapat Grasi tetap 1/3, sedangkan peluang dia sendiri menjadi 2/3

Nah..lho siapa yang benar? Acong atau Codet?

Solusi

Untuk mengetahui siapa yang benar, kita harus paham tentang Kemungkinan Bersayarat (conditional probability). Pertama-tama kita notasikan:

A : kejadian Acong mendapat Grasi,

: kejadian Bodat mendapat Grasi

C : Kejadian Codet mendapat Grasi

dan

I : Kejadian sipir memberitahukan  Acong bahwa Bodat akan di eksekusi.

Nah…sekarang pertanyaannya berapa P(A|I) ? Berapa peluang Acong mnedapat Grasi jika diketahui sipir mengatakan si Bodat bakal dieksekusi ?

Kita tahu bahwa

P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

Pada awalnya Ketiganya mempunyai peluang yang sama mendapat grasi yaitu 1/3.

Dari cerita diatas, diketahui

  • Jika Acong diberi Grari grasi maka sipir harus melempar Koin untuk memilih Bodat atau Codet yang akan disebutkan ke Acong

P(A dan I) = P ( Acong diberi Grasi dan Sipir mengatakan Bodat dieksekusi ) =  1/3 × 1/2  =  1/6

  • Jika Codet diberi Grasi maka sipir harus mengatakan ke Acong bahwa Bodat dieksekusi.

P( C dan I) = P ( Codet diberi Grasi dan Sipir mengatakan ke Acong  Bodat dieksekusi )

= 1/3 × 1 = 1/3

  • Jika Bodat diberi Grasi maka sipir tidak akan mengatakan ke Acong bahwa Bodat di eksekusi;

P (B dan I) =  P ( Bodat diberi Grasi dan Sipir mengatakan ke Acong  Bodat dieksekusi ) = 1/3 × 0 = 0.

Kita mendapat nilai P ( I ) yaitu

P( I )= P( A dan I) + P( C dan I ) + P (B dan I) = 1/6 + 1/3 + 0 = 1/2

maka

{\displaystyle P\left(A|I\right)=\frac{P\left(A\,\mathrm{dan\, I}\right)}{P\left(I\right)}=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}}

dan

P\left(C|I\right)=1-P\left(A|I\right)=1-1/3=2/3

Jadi yang benar adalah pendapat si Codet, mengetahui si Bodat bakal dieksekusi sama sekali tidak meningkatkan peluang si Acong mendapat grasi, peluangnya tetap 1/3. seballiknya justru peluang si Codet meningkat menjadi menjadi 2/3. Mmm..aneh bukan ?!

***

Cerita diatas dikenal dengan sebutan Masalah tiga Narapidana (Three Prisioners Problem) yang ditulis oleh  Martin Gardner pada tahun 1959

Referensi:

Ziqian Zhou, Three Prisoners Problem, 2010

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in probabilitas and tagged , , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Tiga Narapidana

  1. Hada says:

    salam kenal ya dari ane gan..

  2. Holyserve says:

    hooooo.,kalo dipperhatikan seperti Monty Hall problem ya.,

  3. tian says:

    Saya mau tanya 1 soal nih. Diketahui 15 anak termasuk ani dan budi. 15 anak itu akan di bagi ke dalam 4 kelompok. Tentukan besarnya peluang ani tidak sekelompok dengan budi

    • Aria Turns says:

      Waduh…saya kayaknya gak bisa jawab dech

      • tian says:

        Menurut pendapat saya: ani pasti akan masuk ke 1 kelompok dari 4 kelompok. Lalu kita cari berapa banyak cara ani masuk kelompok itu (y). Setelah itu kita cari berapa banyak cara ani masuk kelompok itu bersama dengan budi (x). Maka peluang ani tidak sekelompok dengan budi adalah komplemen dari x/y yaitu 1-x/y. Kalau saya ketemu nya 1/2. Kira2 jawaban saya bener gak pak?

        • Aria Turns says:

          Bukan begitu pertama-tama kita harus mengitung berapa banyak cara memecah 15 orang menjadi 4 kelompok. Itu sama saja menghitung banyaknya solusi dari dari persamaan linier diophtine dari 15 = a+b+c+d. Disinilah saya ga tau cara, sebenarnya sich bisa ditung manual cuman saya males 🙂
          Misalkan banyaknya cara memecah 15 orang menjadu 4 kelompok adalah X.
          Maka kemungkinan Budi masuk kelompok A adalah P(A)= 1/X
          Sedangkan kemungkinan Ani tidak sekolompok dengan Budi, Bukan kelompok A adalah 1-P(A)= 1-1/X

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s