Pembuktian 3 ≠ 2

satu dua tiga

Anak kecil sekali pun tahu bahwa 2 dan 3 adalah bilangan yang berbeda, 2 bukanlah 3, 3 tidak sama dengan 2. Banyak orang orang yang beranggapan bahwa pernyataan 3 ≠ 2 adalah pernyataan yang amat jelas, trivial, tidak perlu dibuktikan lagi. Padahal dalam matematika, selama suatu pernyataan bukanlah aksioma, kita wajib menuntut pembuktian terhadap pernyataan tersebut.

Teorema: 3 ≠ 2

Segala sesuatu dalam matematika berdasarkan Aksioma. Aksioma dari Bilangan (asli) dinamakan Postulate Peano

Postulate Peano: Sistem bilangan asli memuat himpunan tak kosong \mathbb{N} dengan salah satu elemennya adalah 1 dan dilengkapi operasi biner + sedemikian hinnga belaku:

P1.  x+1\neq1 untuk semua x\in\mathbb{N}

P2.  jika x+1=y+1 maka x=y x,y\in\mathbb{N}

P3.  x+(y+1)=(x+y)+1 untuk semua x,y\in\mathbb{N}

P3 . Jika G adalah himpunan, G\subseteq\mathbb{N} dimana

1) 1\in G

2) n\in G\Rightarrow n+1\in G untuk semua n\in G

Maka G=\mathbb{N}

Sebelum kita membuktikan Teorema diatas dengan Postulate Peano, kita harus terlebih dahulu mendefinsikan  2 dan 3.

Definisi:  2 = 1 + 1 dan 3 = (1 + 1) + 1

Bukti:

Akan dibuktikan melalui kontradiksi

Asumsi 3 = 2, berdasarkan definsi 2 = 1 + 1 dan 3 = (1 + 1) + 1 diperoleh

 (1 + 1) + 1 = 1 + 1

Berdasarkan P2 diperoleh

1 + 1 = 1

Padahal dari P1 diketahui 1 + 1 ≠ 1 . Kontradiksi

\square

 Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan 3 ≠ 4, 5 ≠ 2 dsb

 

Referensi:

Cuthbert Webber, 1966, Number System of Analysis,  Addison-Wesley

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian, Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Pembuktian 3 ≠ 2

  1. j4uharry says:

    Selama ini hanya tau mutlak tidak sama …~selesai~

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s