Teorema Pick

Pada bidang xy, suatu titik dikatakan titik Lattice, jika koordinatnya merupakan bilangan-bilangan bulat.

Contoh 1: (0,8), (8,2), (5,3) adalah titik lattice sedangkan (2/5, 6), (0.3, 3.4) bukan titik lattice.

Diberikan Segi- n Lattice P yaitu suatu segi-n sederhana yang sudutnya terletak di titik Lattice , Teorema Pick memberikan cara mudah mengitung luas P. Oya yang saya maksud dengan sederhana adalah segi-n tersebut tidak terdapat lubang dan sisi-sisinya tidak berpotongan satu sama lain.

Teorema Pick: Sebarang segi-n Lattice P berlaku \mathrm{luas}\, P=I+B/2-1

dengan I banyaknya titik dalam yaitu titik lattice yang berada didalam P dan B banyaknya titik batas yaitu titik lattice yang menjadi batas dari P.

Kita langsung masuk ke contoh soal aja yach.

Contoh 2:

Gambar 1

Gambar 1

Dengan menggunakan teorema Pick, hitung luas segi-n dari gambar 1.

A: I = 0 , B = 4 diperoleh Luas A = 0 + 4/2 – 1 = 1

B: I = 0 , B = 3 diperoleh Luas B = 0 + 3/2 – 1 = 1/2

C:  I = 28, B = 26 diproleh Luas C = 28 + 26/2 – 1 = 40

D: I = 7, B = 12 diperoleh Luas D = 7 + 12/2 – 1 =12.

Untuk E dan F itung sendiri yach 🙂

Selanjutnya mari kita buktikan teorema Pick.

Bukti :

Untuk membuktikan Teorema Pick, kita menggunakan dua lemma berikut

Lemma 1: Sebarang segi-n Lattice tersusun dari segitiga-segitiga dasar.

Lemma 2: Luas dari segitiga dasar adalah 1/2.

Yang saya maksud dengan segitiga dasar adalah segitiga yang ketiga sudutnya terletak di titik Lattice, tidak mempunyai titik batas selain ketiga titik sudutnya dan juga tidak mempunyai titik Interior.

Gamabr 2: Gambaran suatu segi-n Lattice tersusun dari segitiga-segitiga dasar

Gamabr 2: Gambaran suatu segi-n Lattice tersusun dari segitiga-segitiga dasar

Sekarang mari kita mulai pembuktiannya. Berdasarkan Lemma 1, kita tahu bahwa sebarang segi-n Lattice P tersusun dari N segitiga dasar. Sekarang kita jumlahkan sudut-sudut dari semua segitiga-segitiga dasar ini melalui dua cara. Di satu sisi Kita tahu bahwa jumlah sudut segitiga adalah \pi maka jumlah semua sudut adalah S=N\pi. Di sisi lain, untuk setiap titik dalam i, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di i adalah 2\pi. Sedangkan pada titik batas b yang bukan titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di b adalah \pi.

Pada titik sudut, besar sudutnya tidak mencapai \pi tetapi kita tahu bahwa jumlah sudut (dalam) dari semua titik sudut pada suatu segi-n adalah k\pi-2\pi dengan k adalah banyaknya titik sudut.

Jika I adalah banyaknya titik dalam dan B banyaknya titik batas. Diperoleh jumlah sudut pada semau titik batas adalah  B\pi-2\pi dan jumlah sudut pada semua titik dalam adalah I2\pi. Itu berarti S=I2\pi+B\pi-2\pi. Diketahui S=N\pi, diperoleh:

N\pi=I2\pi+B\pi-2\pi

hilangkan \pi, kita medapatkan

N=I2+B-2.

Berdasarkan Lemma 2 diketahui lua segitiga dasar adalah 1/2. Itu artinya \mathrm{luas}\, P=\frac{1}{2}N, diperoleh

\mathrm{luas}\, P=I+\frac{1}{2}B-1

\square

Referensi:

TWO BEAUTIFUL PROOFS OF PICK’S THEOREM. Manya Raman, Lars-Daniel Ohman, Ume ̊ University
Pick’s Theorem, Tom Davis

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Teorema Pick

  1. boleh tanya ? definisi segitiga dasarnya dapat dari mana yah ? terus kalo misalnya skala pada titik latticenya berubah mungkin tidak berubah luas poligonnya ? terimakasih

    • Aria Turns says:

      definisi segitiga dasarnya dapat dari mana yah ? maksudnya referensinya gitu? Waduh udah lupa.
      kalo misalnya skala pada titik latticenya berubah mungkin tidak berubah luas poligonnya ? Nilainya tetap yang berubah satuan luasnya

      • Nanya lagi yah kak, “Sedangkan pada titik batas b yang bukan titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di b adalah (phi) .” Dikalimat itu kenapa yang bukan titik sudut ? bukannya semua titiknya itu adalah titik sudut yah ?
        Terus di kalimat yang ini “Pada titik sudut, besar sudutnya tidak mencapai (phi) tetapi kita tahu bahwa jumlah sudut (dalam) dari semua titik sudut pada suatu segi-n adalah k(phi) -2(phi) dengan k adalah banyaknya titik sudut.” Apakah k sama dengan N atau bukan ? boleh kasih penjelasannya gak kak ?
        Trimakasih kak , maaf pertanyaanya neror hihihihi 🙂

  2. mawandwawan says:

    yg C: 40 kayaknya. mungkin salah ketik mas 🙂

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s