Integral Gausian

Salah satu rumus favorit saya adalah Integral Gausian

{\displaystyle \sqrt{\pi}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx}

Bagaimana cantik bukan? Rumus yang menghubungkan \pi, e dan \infty secara elegan. Dinamakan Integral Gausian karena e^{-x^{2}} bernama fungsi Gausian.

Kurva Gausian dari -2 ke 2 sumber: Wolframalpha

Kurva Gausian dari -2 ke 2 sumber: Wolframalpha

Nah…sekarang mari kita bahas darimana Integral Gausian diperoeleh. Kita notasiksan I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx lalu kita akan tunjukkan apakah I=\sqrt{\pi}?

 JIka I dikuadratkan didapat:

{\displaystyle I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy}       (I)

Dengan y adalah dummy variabel bahasa gampangnya variabel boong-boongan maksudnya variabel yang hanya muncul pada proses perhitungan dan akan menghilang jika hasil akhir muncul. Perkalian dua integral pada (I) biasa diekspresikan dengan integral ganda menjadi

{\displaystyle I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dxdy}       (II)

Dari (II) terlihat bahwa domain intergral adalah seluruh bidang-xy. Selanjutnya (II) yang berada pada koordinat kartesius akan kita ubah menjadi berada pada koordinat polar.

Pada koordinat polar diketahui:

  • x=r\cos\theta
  • y=r\sin\theta
  • r=x^{2}+y^{2}
  • dxdy=r\,drd\theta

Seperti yang sudah dikatakan pada (II) domain integralnya  adalah seluruhh bidang-xy, itu berarti dalam koordinat polar domain integralnya adalah seluruh nilai r dan seluruh nilai sudut, diperoeleh integral polar

{\displaystyle I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^{2}}r\, drd\theta}       (III)

Selanjutnya dengan mudah kita kita hitung (III)

\begin{array}{ccc}I^{2} & = & \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^{2}}r\, drd\theta\\& = & \int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}r\, dr\,\int_{0}^{2\pi}d\theta\\& = & \int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}r\, dr\,2\pi\\& = & -\frac{1}{2}\left(e^{-\infty}-e^{0}\right)2\pi\\& = & \frac{1}{2}2\pi\\& = & \pi\end{array}

Kita memperoleh I=\sqrt{\pi}

Perumuman

Untuk suatu bilangan real positif  \alpha , dengan menggunakan  cara di atas, dengan mudah kita peroleh

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}\, dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}}      (IV)

Turunkan dI/d\alpha pada kedua sisi (IV) diperoleh

{\displaystyle \frac{dI}{d\alpha}=\int_{-\infty}^{\infty}-x^{2}e^{-\alpha x^{2}}\, dx=-\frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha^{3/2}}}

{\displaystyle \ensuremath{{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}\, dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha^{3/2}}}}}

Turunkan lagi, kita dapat:

{\displaystyle \ensuremath{{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^{4}e^{-\alpha x^{2}}\, dx=\frac{3\sqrt{\pi}}{4\alpha^{5/2}}}}}

Turunkan terus menurus maka kita akan mendapatkan bentuk umum,

{\displaystyle \ensuremath{{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^{n}e^{-\alpha x^{2}}\, dx=\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot\left(n-1\right)\sqrt{\pi}}{2^{n/2}\alpha^{\left(n+1\right)/2}}}}}   (V)

dengan n genap .

Mengapa harus Genap?

Karena untuk n ganjil rumus (V) akan selalu bernilai nol. Luas pada interval \left[-\infty,0\right] bernilai negatif sedangkan pada interval \left[0,\infty\right] bernilai positif, itu berarti akan saling menghilangkan.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Integral Gausian

  1. prasdika says:

    maaf nih mas saya mau nanya hal yg gak ada hubungannya di posting ini..
    cuma saya penasaran aja nih mas sama ∫(sinx/x)dx
    mohon bantuannya nih mas

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s