Pi dan bilangan Ganjil

bigpi

Deret Gregory atau ada juga yang menyebutkan Deret Gregory-Leibniz, adalah deret tak hingga yang menghubungkan \pi dengan bilangan-bilangan ganjil secara cantik nan elegan.

{\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\ldots}  (I)

Bayak Matematikawan yang beranggapan rumus diatas adalah salah satu rumus matematika yang paling cantik. Nah darimana rumus tersebut diperoleh?

Kita tahu bahwa \arctan1=\pi/4, itu berarti kita tinggal menunjukkan bahwa \arctan1 dapat diubah ke bentuk 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\ldots.

Berdasarkan kalkulus diketahui {\displaystyle \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}}, dapat juga ditulis

{\displaystyle \arctan x=\intop_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx}    (II)

Dengan x\in\left[0,1\right]. Karena domain \arctan x berada di interval  \left[0,1\right].

Jika {\displaystyle F=\frac{1}{1+x^{2}}} dengan  x\in\left[0,1\right], nah sekarang perhatikan:

\begin{array}{ccc}F & = & 1-x^{2}F\\& = & 1-x^{2}\left(1-x^{2}F\right)=1-x^{2}+x^{4}F\\& = & 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}F\\& = & 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}F\\& = & 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-x^{10}F\\& \mathrm{dst}\end{array}

Kita mendapatkan perumuman fungsi (Generating Function)

{\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-x^{10}+\ldots}

Subtitusikan ke (II), diperoeleh

{\displaystyle \begin{array}{ccc}\arctan x & = & \intop_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\& = & \intop_{0}^{x}1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots dx\\& = & x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{7}x^{7}+\frac{1}{9}x^{9}-\ldots\end{array}}

Sekarang kita mendapatkan ekspansi tayor untuk \arctan x, yaitu:

{\displaystyle \arctan x=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{7}x^{7}+\frac{1}{9}x^{9}-\ldots}

Tinggal kita masukkan saja x=1 maka rumus (I) siap dihidangkan.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s