1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ⋯

S=1+2+4+8+16+32+\ldots

Diatas adalah deret tak hingga yang setiap sukunya dua kali lebih besar dari suku sebelumnya. Berapa hasilnya? Banyak orang yang akan menjawab tak hinnga . Akan tetapi melalui trik matematika sederhana hasilnya bisa saja -1. Lho kok bisa? Mari kita bahas bersama-sama.

Kita tahu bahwa setiap bilangan jika dikalikan satu hasilnya adalah dirinya sendiri a=1a dan jelas 1=2-1.

Diperoleh:

\begin{array}{ccc}1S & = & 1\left(1+2+4+8+16+32+\ldots\right)\\S & = & \left(2-1\right)\left(1+2+4+8+16+32+\ldots\right)\\& = & \left(2+4+8+16+\ldots\right)-\left(1+2+4+8+16+\ldots\right)\\& = & -1+\left(2-2\right)+\left(4-4\right)+\left(8-8\right)++\left(16-16\right)+\ldots\\& = & -1\end{array}

Apa yang salah?

Anak SD sekalipun tahu bahwa bilangan positif ditambah bilangan postif hasilnya positif juga. Jika suatu deret bilangan positif hasilnya bisa negatif, pasti ada yang salah. Deret S adalah deret geometri yang divergen bukan konvergen. Karena rasionya 2, Ingat deret geometri akan konvergen jika rasioanya terletak diantara -1 dan 1. Hasil ajaib yang kita dapat diatas adalah akibat kita mencoba mengkonvergenkan suatu yang tidak konvergen.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ⋯

  1. Entah komentar saya ini benar atau salah, kalau tak hingga merupakan batas sebuah deret, maka hasilnya bukan lagi -1 tetapi menjadi S= 2 . takhingga – 1

  2. poop says:

    Kalau r > 1, maka s = a(r^n – 1) / r- 1

    Bila r = 2 maka r pangkat tak hingga itu hasilnya tak hingga juga.

    Mungkin ini bisa untuk koreksi..

  3. Karena deretnya divergen, maka kita tidak boleh melakukan pengurutan ulang suku2nya.

  4. ahmad riyadin says:

    very amazing…

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s