Popcorn

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Pada Tahun 1875, Matematikawan Jerman Carl Johannes Thomae mendefinisikan suatu fungsi f\left(x\right)dengan sifat yang aneh bin ajaib. Fungsi f\left(x\right) hanya kontinyu di bilangan irasional tetapi diskontinyu di bilangan rasional.

Fungsi f\left(x\right) yang didefinisikan oleh Om Thomae diberi nama sesuai namanya Fungsi Thomae. Definisi fungsinya sebagai berikut:

{\displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & x\notin\mathbb{Q}\\ \frac{1}{m}, & x\in\mathbb{Q}\:\mathrm{dengan}\: x=\frac{n}{m}\:\mathrm{dalam\: bentuk\: paling\: sederhana} \end{cases}}

Teorema: Fungsi Thomae kontinyu pada bilangan irasional tetapi diskontinyu pada bilangan rasional.

Bukti: Ambil c\in\mathbb{Q} maka terdapat deret irasional \left(x_{n}\right) dengan \lim\left(x_{n}\right)=c padahal \lim\left(f\left(x_{n}\right)\right)=0\neq f\left(c\right). Terbukti f\left(x\right) diskontinyu di c\in\mathbb{Q}.

Selanjutnya ambil c adalah bilangan irasional dan 0<\epsilon. Berdasarkan sifat Archimedean terdapat n_{0}\in\mathbb{N} sedemikian hingga \frac{1}{n_{0}}<\epsilon. Sekarang interval \left(c-1,c+1\right) hanya mempunyai berhingga banyaknya bilangan rasional / pecahan yang penyebutnya kurang dari n_{0}. Pilih 0<\delta sedemikian hingga \left(c-\delta,c+\delta\right) tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut kurang dari n_0. Diperoleh:

x\in\mathbb{R} dan \left|x-c\right|<\delta\Longrightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(c\right)\right|=\left|f\left(x\right)\right|=f\left(x\right)\leq\frac{1}{n_{0}}<\epsilon.

Terbukti f\left(x\right) kontinyu pada bilangan irasional.

\square

Fungsi Thomae sering disebut fungsi Popcorn karena grafiknya Seperti popcorn yang meletup-letup, Kata-kata suka menari-nari, Wajahmu suaramu selalu ku ingat, Membuatku menjadi tergila-gila di mesin pembuat popcorn.

Sumber Gambar: math.ucdavis.edu

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
Aside | This entry was posted in Analisis, pembuktian and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Popcorn

  1. sadrack says:

    tlg diposting teorema bilangan rasional disertai pembuktiannya!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s