Center dan Centralizer, Apa Bedanya?

teori GrupCenter dan centralizer, dua definisi pada Teori Grup yang pengertianya mirip-mirip dan sering membuat orang bingung membdekan keduanya. Melalui postingan ini, saya akan menjelasa perbedaannya keduanya. Oya literatur yang saya pakai adalah Abstract Algebra, Grillet. Literatur utama saya ketika skripsi dulu.

kita bahas Centralizer terlebih dahulu.

Definisi 1: Untuk sebarang, grup G, Centralizer pada G dari suatu x\in G adalah

C_{G}\left(x\right)=\left\{ g\in G|gx=xg\right\}

Untuk suatu x\in G maka C_{G}\left(x\right) adalah himpunan bagian tak-kosong dari G yang berisikan elemen-elemen yang bersifat komutatif terhadap x.  Jika G adalah grup abelian maka jelas C_{G}\left(x\right)=G, untuk sebarang x\in G. Jika  G grup non-abelian maka e\in C_{G}\left(x\right), untuk sebarang  x\in G. Itulah sebabnya centralizer mustahil himpunan kosong, apapun grupnya, apapun elemen x yang dipilih pastilah elemen identitas termuat didalam centralizer. Karena elemen identitas bersifat komutatif terhadap semua elemen di grup, maka untuk sebarang grup G berlaku C_{G}\left(e\right)=G.

Jika Centralizer berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap suatu x\in G maka center berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap SEMUA   x\in G.

Definisi 2: Untuk sebarang Grup, Center grup G adalah

Z\left(G\right)=\left\{ g\in G|gx=xg,\,\forall x\in G\right\} .

Jadi center adalah centralizer dari SEMUA elemen G, oleh karena itu definisi 2 ekuivalen dengan

Z\left(G\right)=C_{G}\left(G\right)=\left\{ g\in G|gx=xg,\,\forall x\in G\right\} .

Karena setiap elemen di  Z\left(G\right) komutatif terhadap semua elemen G maka untuk setiap g\in Z\left(G\right) berlaku C_{G}\left(g\right)=G.

Serupa dengan centralizer, jika G adalah grup abelian maka Z\left(G\right)=G, begitupula jika  G grup non abelian maka pastilah e\in Z\left(G\right).

Hubungan Center dan Centralizer dijelaskan oleh Teorema berikut

Teorema: Center dari suatu Grup adalah irisan semua centralizer dari elemen-elemen pada grup tersebut.

{\displaystyle Z\left(G\right)=\underset{g\in G}{\bigcap}C_{G}\left(g\right)}

Bukti: Untuk mempermudah, dinotasikan  Z=Z\left(G\right) dan C=\underset{g\in G}{\bigcap}C_{G}\left(g\right).

Untuk membuktikan Z=C, kita harus membuktikan Z\subseteq C dan  C\subseteq Z.

Kita buktikan Z\subseteq C, terlebih dahulu.

Diberikan x\in Z, berdasarkan definisi center

x\in Z=C_{G}\left(G\right)

Yang berarti x\in C_{G}\left(g\right),\,\forall g\in G

Yang ekuivalen dengan definisi irisan himpunan, diperoleh:

x\underset{g\in G}{\in\bigcap}C_{G}\left(g\right)=C.

Terbukti x\in C, dengan kata lain Z\subseteq C.

Selanjutnya, akan dibuktikan C\subseteq Z.

Diberikan x\in C, berdasarkan definisi irisan himpunan maka

\forall g\in G:\, x\in C_{G}\left(g\right).

Itu berarti xg=gx,\,\forall g\in G

Yang ekuivalen dengan definsi center, diperoleh

x\in Z=Z\left(G\right).

Terbukti  x\in Z, dengan kata lain C\subseteq Z.

\Box

Keterangan Notasi:

e  adalah elemen identitas

Sumber Gambar: Wikipedia

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Center dan Centralizer, Apa Bedanya?

  1. fuad says:

    TERIMA KASIH INFONYA, SANGAT MEMBANTU!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s