Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

Saya pernah mengatakan bahwa Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) adalah Teorema yang paling mengagumkan. Sekarang mari kita buktikan TFK. TFK adalah cara kita menghitung integral tentu \int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx dengan menggunakan anti-turunan dari f(x).

Definisi: Diberikan f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup \left[a,b\right]. Kita bagi  \left[a,b\right] menjadi n interval bagian yang sama panjang \left[a=x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}=b\right] dengan panjang setiap interval bagian adalah \Delta x=\left(b-a\right)/n. Untuk sebarang c_{i}\in\left[x_{i-1},x_{i}\right] dengan i=1,2,3,\ldots,n maka integral tentu pada f dari a ke b didefiniskan

{\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(c_{i}\right)\Delta x}

integral tentu

Teorema Fundamental kalkulus (TFK) : Diberikan f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup \left[a,b\right] maka

{\textstyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)}

dengan F adalah anti-turunan dari f, dengan kata lain F'=f

Bukti:

Dari definisi integral tentu diatas, diketahui  \left[a=x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}=b\right] merupakan  interval-interval bagian dari  \left[a,b\right], diperoleh

\begin{array}{ccc}F\left(b\right)-F\left(a\right) & = & F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{0}\right)\\& = & F\left(x_{n}\right)+\left(-F\left(x_{n-1}\right)+F\left(x_{n-1}\right)\right)+\ldots+\left(-F\left(x_{1}\right)+F\left(x_{1}\right)\right)-F\left(x_{0}\right) \\& = & \left(F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{n-1}\right)\right)+\ldots+\left(F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{0}\right)\right)\\F\left(b\right)-F\left(a\right) & = & \sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)\end{array}

Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat c_{i}\in\left[x_{i-1},x_{i}\right] sedemikian hingga

{\displaystyle F'\left(c_{i}\right)=\frac{F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)}{x_{i}-x_{i-1}}=\frac{F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)}{\Delta x}}.

maka

F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)=F'\left(c_{i}\right)\Delta x

Karena F adalah anti-turunan dari f, itu berarti F'\left(c_{i}\right)=f\left(c_{i}\right), diperoleh:

{\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right)=\sum_{i=1}^{n}f\left(c_{i}\right)\Delta x}

Dengan mengambil limit untuk n\rightarrow\infty, diperoleh

F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx

QED

Catatan:

Beberapa literatur bahkan termasuk wikipedia menyatakan bahwa TFK terbagi 2 bagian, yang kita bahas diatas adalah bagiak ke-dua. Sedangkan bagian pertamanya menyatalan:

Bagian I TFK: Diberikan f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup \left[a,b\right] dan didefiniskan fungsi F sebagai berikut

F\left(x\right)=\int_{a}^{x}f\left(t\right)\, dt

untuk setiap x\in\left[a,b\right] maka F terturun pada \left[a,b\right] dan F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Pada buku Introduction to Real Analysis, Bartle menyebut bagian I TFC dengan sebutan differentiation Theorem 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus, pembuktian and tagged , , . Bookmark the permalink.

10 Responses to Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

  1. Sri says:

    Saya ingin bertanya bagaimana cara membuktikan teorema – teorema limit di satu titik, bisa tolong diberi tahu via email atau mungkin tolong dibuatkan sebuah postingan. terimakasih,,,

  2. Herry PS says:

    Perlu ditekankan juga bahwa integral yang dipakai adalah integral Riemann karena di sini kita hanya tertarik untuk mengintegralkan fungsi kontinu yang terdefinisi pada interval tertutup dan terbatas

  3. mantap bro artikelnya….jadi inget waktu kuliah pas di semester 2….dapat kalkulus integral….kalkulus itu susah susah gampang…..harus banyak latihan….

  4. aimprof08 says:

    sepertinya kurang F(x_0) di baris ke-4 pada “BUKTI” nya pak

  5. alfainvers says:

    Assalammualaikum
    salam kenal [lagi] mas arya…
    mantap, jadi inget kalkulus-1 d tingkat 1, baru kena makna TFC pas dapet matkul analisis real & metode numerik di tingkat 2.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s