Barisan cauchy tetapi tidak konvergen

Bagi kalian yang mempelajari analisis real khususnya materi mengenai barisan Cauchy, tentunya mengenal teorema berikut

Teorema: Suatu barisan di bilangan real adalah cauchy jika hanya jika barisan tersebut konvergen

Teorema diatas sering disebut Kriteria Konvergensi Cauchy. Nah..apakah kalian tahu bahwa ada barisan Cauchy yang tidak konvergen? Wah.. kok bisa? Apa itu berarti teorema diatas salah? Tenang saja.. teorema tersebut benar tetapi tetapi teorema tersebut hanya berlaku di Billangan real, untuk ruang lain selain bilangan real belum tentu berlaku.

Sekarang mari kita lihat, contoh barisan cauchy yang tidak konvergen

  1. Didefiniskan barisan x_n=\left(1/n\right) dan I=\left(0,\infty\right), dengan mudah diketahui x_n merupakan barisan Cauchy tetapi tidak konvergen di I karena \lim_{n\rightarrow\infty}X_{n}=0\notin I.
  2. Didefinisikan barisan q_{n}=\left(1+1/n\right)^{n} pada \mathbb{Q}. Barisan q_n Cauchy tetapi tidak konvergen di \mathbb{Q}.. Karena \lim_{n\rightarrow\infty}Q_{n}=e\notin\mathbb{Q}.

Dari 2 contoh diatas bisa kita lihat sebenarnya x_n dan q_n sebenarnya mempunyai limit akan tetapi limitnya tidak berada didalam ruang dimana X_n dan Q_n berada. Nah.. ini lah yang saya maksud dengan tidak konvergen.

Secara umum suatu ruang Metrik M dikatakan komplit jika setiap barisan cauchy di M konvergen ke suatu titik dimana titik tersebut berada didalam M. Contoh ruang Metrik komplit adalah Bilangan Real. Dari 2 contoh diatas bisa kita simpulkan I=\left(0,\infty\right) dan \mathbb{Q} bukanlah ruang Metrik komplit.

Jika didalam Metrik tidak komplit, suatu barisan cauchy belum tentu konvergen,apakah sebaliknya juga berlaku?

Apakah barisan konvergen belum tentu cauchy didalam Metrik tidak komplit?

Jawabannya TIDAK

Teorema: Diberikan sebarang metrik M=\left(X,d\right), setiap barisan konvergen di M adalah Cauchy.

Bukti: 

Diberikan barisan x_n di X yang konvergen ke l\in X dan \epsilon>0

Itu berarti \frac{\epsilon}{2}>0

Karena x_n konvergen ke l, diperoleh

\exists N:\,\forall n>N:\, d\left(x_{n},l\right)<\frac{\epsilon}{2}

dengan cara yang sama:

\forall m>N:\, d\left(x_{m},l\right)<\frac{\epsilon}{2}

Jika n>N dan  m>N maka

\begin{array}{ccc}    d\left(x_{n},x_{m}\right) & \leq & d\left(x_{n},l\right)+d\left(l,x_{m}\right)\\    & < & \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\    & = & \epsilon    \end{array}

Terbukti x_n bariasan Cauchy

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to Barisan cauchy tetapi tidak konvergen

  1. wahidah says:

    bagaimana dengan ruang norma?

  2. Herry PS says:

    Perlu ditekankan bahwa kelengkapan (completeness) suatu ruang metrik sangat bergantung pada metrik yang didefinisikan. Misalnya dua contoh di atas, I=(0,\infty) dan \mathbb{Q} bukan ruang metrik lengkap terhadap metrik biasa (usual metric) di \mathbb{R}, yaitu nilai mutlak. Terhadap metrik yang lain mungkin saja keduanya lengkap. \mathbb{R} pun lengkap terhadap metrik biasa. Apabila \mathbb{R} dilengkapi dengan metrik d(x,y)=| \arctan(x)-\arctan(y) |, maka \mathbb{R} tidak lengkap.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s