Alkisah Bang Toyib, sang Pejudi (Paradoks St Petersburg)

Alkisah Bang Toyib (B) seorang pejudi yang sudah 3 kali puasa, 3 kali lebaran gak pulang-pulang bertemu dengan Mas Joko (M), seorang bandar Judi, terjadi percakapan diatara keduanya:

M: Bang, lo punya koin gopek.

B: Ade, nich.. (sambil mengeluarkan koin Rp 500,- dari sakunya)

M: Kite mean judi lempar uang, mau enggak?

B: Maennya kayak gimana?

M: Gampang aja, ni.. koin gw lempar sampai muncul garuda. Kalau lemparan pertama muncul garuda, lo dapet 2 ribu, Kalau garudanya mucul di lemparan ke-2 lo dapat 4 rebu, kalau munculnnya di lemparan ke-3 lo dapet 8 rebu, begitu seterusnya. Paham ente?

B: Jadi permainan beres kalau muncul garuda, gitu?

M: Iye

B: Okey gw paham

M: Sekarang lo mau bayar berapa buat maen ini?

B: Mmm…berapa yach??

Nah, menurut kalian:

Berapa harga yang wajar, yang rasional yang harus dibayar Bang Toyib ke Mas Joko?

Mari kita analisa permainan judinya.  Kemungkinan bang Toyib mendapatkan 2 ribu adalah 1/2. Kemungkinan bang Toyib mendapatkan 4 ribu adalah 1/4. Kemungkinan Bang Toyib medapatkan 8 ribu adalah 1/8, begitu seterusnya. Secara umum kemungkinan bang toyib mendapatkan 2n ribu adalah 1/2n.

Misalkan garuda baru muncul pada lemaparan ke 10 maka bang Toyib akan medapatkan 210ribu = 1.024 ribu= 1.024.000 rupiah dengan kumungkinan 1/1024.

Jadi permainan judi lempar uang ini, memungkinankan Bang Toyib mendapatkan uang yang amat buaanyak medekati tak hinnga, meskipun juga kemungkinannya teramat kecil medekati nol.

Nah.. untuk menjawab pertanyaan diatas, kita harus mengetahuin nilai harapan (expected value) dari permainan judi lempar uang ini. Secara sederhana  Nilai harapan adalah rata-rata yang kita peroleh jika kita bermain judi terus menurus berkali-kali

\begin{array}{ccc}  Nilai\, Harapan & = & \frac{1}{2}\cdot2000+\frac{1}{4}\cdot4000+\frac{1}{8}\cdot8000+\ldots\\  & = & 1000+1000+1000+\ldots\\  & = & \sum_{n=1}^{\infty}1000=\infty  \end{array}

Nilai harapannya adalah tak hingga. Apa artinya? Itu artinya berapapun harga yang harus di bayar Bang Toyib, jika ia bermain terus-menurus, berkali-kali maka secara rata-rata Bang Toyib akan mendapatkan lebih dari harga yang telah dibayarnya. Seorang pejudi rasional akan bermain judi jika harga permainan judi lebih rendah daripada nilai harapan. Telah kita tunjukan berapapun harga yang dipasang untuk permainan judi ini akan selalu kurang dari nilai harapannya.  Itu artinya seorang pejudi rasional akan bermain tidak peduli harga masuk yang ditetapkan bandar judi. Apakah benar seperi itu? Karena nilai harapannya tak hingga maka bandar judi membutuhkan dana tak terbatas kalau mau menbuka permainan judi ini. Jadi sudah sepantasnya bandar judi memasang harga masuk yang amat tinggi. Akan tetapi  andai  bandar judi memasang harga masuk 1 juta rupiah apakah ada pejudi yang mau bermain? Menurut penelitian hanya sedikit orang yang mau bermain jika harga masuknya lebih dari $ 20 atau sekitar 200 ribu rupiah.

Nah.. dari apa yang telah kita bahasa bisa kita lihat bahwa permainan judi lempar uang yang di tawarkan oleh Mas Joko menimbulkan paradoks. Meskipun pejudi tahu nilai harapannya tak hingga mereka ogah bermain jika harga masuknya kemahalan. Paradoks ini dikenal dengan sebutan Paradoks St Petersburg (Paradoks St Petersburg)

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Paradoks, probabilitas and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Alkisah Bang Toyib, sang Pejudi (Paradoks St Petersburg)

  1. adimath17 says:

    ne mksd munculx garuda (gambar) berturut-turut 2 kali bru dapat 4 ribu ato ga peduli pelemparan pertama muncul apa yg penting pelemparan kedua muncul garuda (gambar)??

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s