Memperoleh volume bola dimensi ke-n

Boleh dibilang ini adalah lanjutan dari postingan sebelumnya. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola dimensi ke-n diperoleh. Dinotasikan n-bola adalah bola pada dimensi ke-n dan V_n(r) adalah volume n-bola dengan jari-jari r, diasumsikan titik tengah bola berada di titik asal.

Konsep dasar untuk memperoleh rumus V_n sebagai berikut:

  1. Potong  n-bola menjadi potongan-potongan berbentuk n-cakram (cakram dimensi ke-n) dengan alas cakram berentuk (n-1) bola. Dengan kata lain kita bisa memandang n-bola tersusun dari n-cakram sebanyak n. Contoh:3-bola tersusun dari 3-cakram yang alasnya berbentuk 2-bola (lingkaran) 
  2. Hitung satu-persatu volume n-tabung kemudian jumlahkan semuanya untuk memperoleh V_n.

Secara integral, konsep diatas dapat dirumuskan menjadi V_{n}(r)=\intop_{-r}^{r}V_{n-1}\left(\rho \right)dz dengan \rho adalah jari-jari n-cakram dan dz adalah ketinggian/ketebalan cakram

Hubungan \rho dan r adalah \rho=r\sin\theta, selanjutnya kita ubah V_{n}(r)=\intop_{-r}^{r}V_{n-1}\left(\rho \right)dz ke dalam koordinat polar

(i)  V_{n}\left(r\right)=r\intop_{0}^{\pi}\sin\theta V_{n-1}\left(r\sin\theta\right)d\theta

Jika (i), dijabarkan, diperoleh

(ii) V_{n}\left(r\right)=r^{n}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{n-1}\theta d\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}\theta d\theta\ldots\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta

Tidak mudah menghitung (ii), kita harus melakuakan sedikit trik, didefinisikan.

\alpha\left(n\right)=\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta\alpha\left(n-1\right)d\theta=\alpha\left(n-1\right)\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta

atau

\alpha\left(n\right)=I\left(n\right)\alpha\left(n-1\right) dengan I\left(n\right)=\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta.

Jadi

(iii)  \alpha\left(n\right)=I\left(n\right)I\left(n-1\right)\ldots I\left(2\right)\alpha\left(1\right).

Persamaan (ii) dapat kita ubah menjadi V_{n}\left(r\right)=r^{n}\alpha\left(n\right).

Selanjutnya kita akan membahas sifat-sifat I\left(n\right)

I\left(0\right)=\int_{0}^{\pi}d\theta=\pi,\; I\left(1\right)=\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi}=2.

Untuk n\geq2, kita akan menggunakan integral bagian

\begin{array}{ccc} I\left(n\right) & = & \int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\pi}\sin\theta\sin^{n-1}\theta d\theta\\ & = & \left[-\cos\theta\sin^{n-1}\theta\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\left(n-1\right)\sin^{n-1}\theta d\theta\\ & = & \left(n-1\right)\int_{0}^{\pi}\left(1-\sin^{2}\theta\right)\sin^{n-2}\theta d\theta\\ & = & \left(n-1\right)\left[I\left(n-2\right)-I\left(n\right)\right] \end{array}

Diperoleh

(iv)  I\left(n\right)=\frac{n-1}{n}I\left(n-2\right),\quad n\geq2.

dengan mudah dapat dihitung I\left(2\right)=\frac{1}{2}I\left(0\right)=\frac{1}{2}\pi, dari persamaan (iv), didapat

(v)  I\left(n\right)I\left(n-1\right)=\frac{n-2}{n}I\left(n-2\right)I\left(n-3\right),\: n\geq3

Dari persamaan (v) didapat:

\begin{array}{ccc} I\left(2k+1\right)I\left(2k\right)\ldots I\left(0\right) & = & \frac{2k-1}{2k+1}\left[I\left(2k-1\right)I\left(I(2k-2\right)\right]^{2}\ldots\\ & = & \frac{2k-1}{2k+1}\left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)^{2}\left[I\left(2k-3\right)I\left(I(2k-4\right)\right]^{2}\ldots\\ & = & \frac{1}{2k+1}\frac{1}{2k-1}\ldots\frac{1}{3}\left[I\left(1\right)I\left(0\right)\right]^{k+1} \end{array}

Didapat:

(vi)  \Pi\left(2k+1\right)=\frac{k!}{\left(2k-1\right)}2^{2k+1}\pi^{k+1} dengan

\Pi\left(n\right)=I\left(n\right)I\left(n-1\right)I\left(n-2\right)\ldots I\left(1\right)I\left(0\right)

dengan cara yang sama diperoleh:

\begin{array}{ccc} I\left(2k\right)I\left(2k-1\right)\ldots I\left(0\right) & = & \frac{2k-2}{2k}\left[I\left(2k-2\right)I\left(I(2k-3\right)\right]^{2}\ldots\\ & = & \frac{2k-2}{2k}\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)^{2}\left[I\left(2k-4\right)I\left(I(2k-5\right)\right]^{5}\ldots\\ & = & \frac{1}{2k}\frac{1}{2k-2}\ldots\frac{1}{4}2^{2k-1}\left[I\left(2\right)I\left(1\right)\right]^{k}I\left(0\right) \end{array}

diperoleh

(vii)  \Pi\left(2k\right)=\frac{1}{k!}\pi^{k+1}

Diketahui \alpha\left(n\right)=\frac{\Pi\left(n\right)}{I\left(1\right)I\left(0\right)}\alpha\left(1\right) karena \alpha\left(1\right)=2, diperoleh \alpha\left(n\right)=\frac{\Pi\left(n\right)}{2\pi}2=\frac{\Pi\left(n\right)}{\pi}. Gunakan persamaan (vi) dan (vii), diperoleh:

  • V_{2k}\left(r\right)=\alpha\left(2k\right)r^{2k}=\frac{1}{k!}\pi^{k}r^{2k} karena \alpha\left(2k\right)=\frac{1}{k!}\pi^{k}
  • V_{2k+1}\left(r\right)=\alpha\left(2k+1\right)r^{2k}=\frac{k!}{\left(2k-1\right)}2^{2k+1}\pi^{k}r^{2k+1} karena \alpha\left(2k+1\right)=\frac{k!}{\left(2k-1\right)}2^{2k+1}\pi^{k}

Kesimpulan:

Volume 2k-bola dan (2k+1)-bola dengan jari-jari r adalah

V_{2k}\left(r\right)=\frac{1}{k!}\pi^{k}r^{2k} dan V_{2k+1}\left(r\right)=2^{2k+1}\pi^{k}r^{2k+1}

Referensi:  A E Lawrence, The volume of an n-dimensional hypersphere

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri, kalkulus and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Memperoleh volume bola dimensi ke-n

  1. ikhsan says:

    wah materinya jujur menarik kak kalau boleh nanya yg bagian i itu bisa ke ii kayak gimana ya kak, terus yang bagian iv kan sudah di cari n>= 2 tapi kok di bagian v mesti di cari juga yang >= 3 kan 3 itu lebih dari dua, terus dari mana kak yang v itu di dapet masalahnya kan ad pengantarnya kayak yg iv terimakasih mohon pencerahanya 🙂

    • Aria Turns says:

      (i) ke (ii) adalah penjabaran V_1sampai dengan $latex V_{n-1}.
      Kan persamaan di (iv) dan di (v) beda.
      Di (iv) kita mendapat persmaan I(n), dicari bentuk I(n-1) didapatlah (v) yaitu I(n)I(n-1)

      • ikhsan says:

        oh iya, nah kak yg kenapa N>= 4 gak di cari juga,
        terus yg di dapat dari pesamaan v itu kan mencari volume bola di dimensi ganjil nah di penjabarannya itu agak dag ngerti kak kok bisa ada kuadratnya ya kak di bagian itu udah di otak atik masih blm dapet

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s