Volume bola di dimensi ke-n

Saya yakin kalian sudah mengetahui bawa bola adalah objek pada dimensi ke-3 sedangkan lingkaran adalah objek pada dimensi ke-2. Rumus volume bola \frac{4}{3}\pi r^{3} dan rumus luas lingkaran \pi r^2.

Nah.. apakah kalian tahu bawa lingkaran sebenarnya adalah bola pada dimensi ke-2?

Jadi luas lingkaran sebenarnya adalah volume bola pada dimensi ke-2.

Lalu bagaimana wujud bola pada dimensi ke-1?

Mudah saja pada dimensi ke-1 bola merupakan interval dengan volume 2r.

Pertanyaan selanjutnya adalah:

Bagaimana wujud bola pada dimensi ke-4?

Bagaimana wujud bola pada dimensi ke-5?

Bagaimana wujud bola pada dimensi ke-6?

.

.

Bagaimana wujud bola pada dimensi ke-n?

Pertanyaan-pertanyaan diatas mustahil kita jawab. Otak manusia tidak mampu membayangkan objek lebih dari dimensi ke-3. Meskipun kita tidak mampu membayangkan wujud bola pada dimensi lebih dari 3 akan tetapi matematika mampu merumukan volume bola dimensi lebih dari 3.

Berikut adalah Tabel rumus volume bola dari dimensi ke-1 sampai ke-10 dengan jari-jari r

Dimensi Volume
1 2r
2 \pi r^{2}
3 \frac{4}{3}\pi r^{3}
4 \frac{1}{2}\pi^{2}r^{4}
5 \frac{8}{15}\pi^{2}r^{5}
6 \frac{1}{15}\pi^{3}r^{6}
7 \frac{16}{105}\pi^{3}r^{7}
8 \frac{1}{24}\pi^{4}r^{8}
9 \frac{32}{945}\pi^{4}r^{9}
10 \frac{1}{120}\pi^{5}r^{10}

Secara umum rumus volume bola dimensi ke-n dirumuskan sebagai berikut

  • Untuk dimensi ke-2k (genap ) adalah {\displaystyle V_{2k}\left(r\right)=\frac{\pi^{k}}{k!}r^{2k}}
  • Untuk dimensi ke-2k+1 (ganjil) adalah {\displaystyle V_{2k+1}\left(r\right)=\frac{k!}{\left(k+1\right)!}2^{2k+1}\pi^{k}r^{2k+1}}

Bagi yang mengerti fungsi Gamma kedua rumus dimensi genap dan ganjil dapat digabung menjadi satu rumus yaitu:

{\displaystyle V_{n}\left(r\right)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}r^{n}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}}

Mungkin kalian akan berpikir semakin besar dimensinya maka volume bola akan semakin besar, justru sebaliknya

Teorema{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}V_{n}\left(r\right)=0}

Dari teorema diatas, untuk dimensi mendekati tak hingga maka volume bola akan mendekati nol.

Untuk bola unit (bola berjari-jari 1) akan mencapai volume maksimum di dimensi ke-5 kemudian pada dimensi berikutnya akan semakin mengecil

Kurva bola unit pada dimensi ke-n (sumber: johndcook.com)

Sedangkan untuk bola berjari-jari 2 akan mencapai volume maksimal di dimensi ke-24.

Kurva volume bola dengan r=2 di dimensi ke-n (sumber: johndcook.com)

Jadi di dimensi ke berapa suatu bola mencapai volume maksimum tergantung dari jari-jarinya. Yang jelas, berdasarkan teorema di atas, berapapun jari-jari bola, volumenya akan mendekati nol jika berada di dimensi mendekati tak hingga.

***

Kita tidak mampu membayangkan wujud bola di dimensi yang lebih dari tiga akan tetapi matematika mampu merumuskan volume bola di dimensi lebih dari tiga bahkan di dimensi ke tak hingga. Hal tersebut menunjukan matematika melebihi imajinasi manusia

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, geometri, kalkulus and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

17 Responses to Volume bola di dimensi ke-n

  1. 137F says:

    misalnya ada 0-ball, gimana 0-sphere nya ya?

    • Aria Turns says:

      0-baall adalah titik, Menurut Euclid titik adalah sesuatu yg tidak mempunyai bagian “that which has no part”. Jadi 0-ball tidak mempunyao sphere

      • 137F says:

        jadi penasaran bagaimana wujud 2 sphere di Hedgehog dan Taxicab Geometry. Gimana juga kalau dalam ruang hiperbolik atau eliptik. sepertinya akan menarik

  2. Rinna Samra says:

    mas aria keren-keren tulisannya. Semangat terus berkarya mas! Matematikawan emang kekurangan blog matematika bahasa indonesia 😦
    Blog mas aria jadi membantu banget buat penelitian 🙂

  3. suna says:

    Exploring other dimension:

    ada caption bahasa inggrisnya juga, lumayan buat share ilmu..

  4. suna says:

    Kalo baca ttg hypersphere jadi inget novel Flatland: A Romance of Many Dimensions karya Edwin Abbot..
    ceritanya bagus untuk matematikawan, juga matematikawan pemula yang mau belajar tentang dimensi. hehe..

  5. agusrus says:

    Secara matematik dimensi bisa tak terbatas, namun secara phisic dimensi menjadi apa ?? Dimensi 1, 2 dan 3 masih berhubungan dengan jarak. Dimensi ke 4 (katanya waktu), sudah tak berhubungan dengan jarak. Dimensi ke 5 (katanya energi, momentum dsb), tidak berhubungan dengan jarak dan dan waktu.

    • andri says:

      eits… dimensi ke 5 katanya energi, momentum dsb? kata siapa?
      saya orang physics lhooo.. hehehe salam kenal 🙂

      • agusrus says:

        salam kenal juga.. aku masih penasaran nich..
        secara matematik volume kubus bertambah bila dimensinya bertambah, tetapi volume bola berbeda aturannya. Apakah yang membedakannya ?? Bentuknya? Proyeksinya pada dimensi 2 ? Perubahan bentuk permukaannya ???
        Selain itu lingkaran didimensi 2 bisa menjadi bola, silinder, eliipse, limas didimensi 3. Jadi sebenarnya bola adalah salah satu jawaban dari bentuk lingkaran didimensi 2. Bila ini diteruskan maka mungkin ada banyak jawaban di dimensi yang lebih banyak ???

  6. andri says:

    terlepas dari berlaku ngganya rumus itu untuk semua n dan punya makna apa ngga, kita bisa coba-coba kn mas..
    kalo n = 0 (dimensinya nol), hasilnya selalu 1 ya?
    kalo n minus, trus r =1, bisa ditebak dari fungsi gamma itu hasil(volumenya)nya bakal bolak balik lhoo, bisa positif negatif positif begatif dst..
    hehehe
    science fiction, kalo ada dimensi minus 1 hehe… 🙂

    sayang sekali ga bsa pasang emoticon d sini ya.. 😀

  7. sebenarnay dimensi itu apa sih? yang kutahu hanya
    dimensi 1 untuk titik
    dimensi 2 untuk bangun datar
    dimensi 3 untuk bangun ruang

    • Aria Turns says:

      Secara sederhana dimensi adalah jumlah minimal koordinat yang dibuhkan untuk mengetahui posisi suatu objek. Dalam dimensi 2 kordinat yang dibutuhkan untuk mengetahui posisi sutau objek adalah: Absis x dan ordinat y

  8. baka-kun says:

    menarik juga artikelnya, btw gimana dengan bangun ruang lainnya selain bola pada dimensi ke-n??

    • Aria Turns says:

      Untuk bangun ruang lain semakin besar dimensinya maka volumenya akan semakin besar.
      Contoh Kubus pad dimensi ke-n volumenya adalah p^n dengan p adalah panjang rusk.
      pada dimensi ke 100 maka volume kubus adalah p^{100}

      • baka-kun says:

        Jadi untuk dimensi ke-n tinggal dipangkatkan n sajo yaa…, kalo bgt seperti yang dicontohkan mas aria, yakni kubus dengan pj rusuk r, gak usah gedegede amat dimensinyoo, katakanlah pada dimensi ke-4, brarti r pangkat 4 betuul….?jka demikian r pangkat 4, bisa dikatakan sebagai :
        1. r kuadrat x r kuadrat, dengan katalain luas dalam luas…tuiing…tuiiing…tuiiing…un-imajination mode on.
        2. r pangkat 3 x r, volume dalam r nek ikih oppooooo maneeh brooo…^_^…
        Itu baru contoh kubus yaa?gmn dengan bentuk balok dengan volumenya p x l x t…nah mgk kalo dalam dimensi ke-4 berarti harus ada 1 variabel lagi neh, jika iya…katakanlah a ato u ato n..DENGAN DEMIKIAN SEHINGGA BENTUK BALOK DALAM DIMENSI KE-4 ITU JADI PLTA yaaa ato PLTU malah bisa juga jadi PLTN..loh..loh…kok malah jadi perusahaan listrik seee..kikikikiki….ngarang mode on ….^o^….
        nb : kalo pun ada dimensi 4 maka semua bentuk yang terdefinisi dalam 3D, maka dalam 4D benda tsb akan menjadi tak terdefinisi bentuknya….(self suggestion)

      • kalo bola/ball bukannya kebalikan, bahkan jumlah tak hingga volume ball unit (r=1) dimensi 1, 2, 3, dst konvergen ke e pangkat pi

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s