Memperoleh rumus volume limas

Salah satu materi Mapel Matematika kelas 6 SD adalah Volume bangun ruang. Dari beberapa volume bangun ruang yang dipelajari siswa kelas 6 SD adalah Volume limas.

V= 1/3 ×  alas × tinggi.

Apapun alas limasnya rumus volume diatas akan tetap berlaku bahkan tetap berlaku terhadap kerucut, Ingat kerucut adalah limas dengan alas lingkaran.

Gara-gara rumus volume limas ini, saya mendapat pertanyaan dari seorang anak kelas 6 SD

Mengapa ada 1/3 pada rumus volume limas?

Mmm…pertanyaan yang amat cerdas, untuk bisa menjawabnya kita harus tahu bagaimana rumus volume limas diperoleh.

Teorema: Untuk sebarang limas dengan luas alas A dan tinggi h berlaku v=\frac{1}{3}Ah

Bukti

Diberikan sebarang Limas dengan luas alas A dan tinggi h kemudian potong-potong limas tersebut secara mendatar menjadi n lapisan dengan  n→∞. Lapisan pertama berada di puncak, paling atas sedangkan lapisan ke-n yang terakhir berada di paling bawah. Berdasarkan kesebangunan lapisan ke-k mempunyai ukuran k/n dari lapisan ke-n, itu berarti lapisan ke-k mempunyai luas alas \left(\frac{k}{n}\right)^{2}A

Diperoleh luas alas dari lapisan ke-1 sampai ke-n adalah \left(\frac{1}{n}\right)^{2}A,\left(\frac{2}{n}\right)^{2}A,\left(\frac{3}{n}\right)^{2}A,\ldots\left(\frac{n}{n}\right)^{2}A.

Dengan mengasumsikan setiap lapisan  berbentuk prisma maka setiap lapisan mempunyai tingi h/n, diperoleh volume lapisan ke-k adalah \left(\frac{h}{n}\right)\left(\frac{k}{n}\right)^{2}A.

Untuk mendapatkan volume limas, kita harus menjumlahkan semua volume lapisan dari lapisan pertama sampai terakhir, diperoleh

v=\left(\frac{h}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)^{2}A+\left(\frac{h}{n}\right)\left(\frac{2}{n}\right)^{2}A+\left(\frac{h}{n}\right)\left(\frac{3}{n}\right)^{2}A+\ldots+\left(\frac{h}{n}\right)\left(\frac{n}{n}\right)^{2}A

v=\left(\frac{h}{n^{3}}\right)A\left(1^{2}+2^{2}+3^{3}+\ldots+n^{2}\right).

Diketahui 1^{2}+2^{2}+3^{3}+\ldots+n^{2}=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)

Diperoleh

v=\left(\frac{h}{n^{3}}\right)A\left(\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\right)

v=\frac{1}{6}Ah\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)

karena n→∞, itu berarti nilai 1/n bisa dianggap nol.

v=\frac{1}{6}Ah\left(1+0\right)\left(2+0\right)=\frac{1}{3}Ah

Viola, kita mendapatkan 1/3

***

Pembuktian diatas menujukkan apapun alas limasnya, volumenya akan selalu 1/3 ×  alas × tinggi. Yang kita butuhkan hanyalah luas alas dan tinggi untuk mencari volume limas.

Sumber gambar: Wikipedia dan mathschallenge.net

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

13 Responses to Memperoleh rumus volume limas

  1. Maaf sebelumnya pak, apakah ngerti anak SD dgn rumus komplek spt ini. Saya coba mencari volume limas dari sudut pandang spatial obyek. Spt ini, jika tepat pd pusat kubus ada sebuah titik, dan dari titik itu kita tarik ke empat pojok kubus, maka 1 kubus = 6 limas. So volume 1 limas = 1/6 vol kubus. Atau 1/6 PxLxT, karena t limas 1/2 dari T kubus maka Vlimas=1/6(PxLx2t)= 1/3 PLt alias 1/3 Luas Alas x tingginya. Semoga berguna.
    Salam kreatif penuh peduli 🙂

  2. zainul says:

    saya juga masih bingung ni klo pkek kubus or balok trus dikasihi titik pusat yang ada salah satu trus titik sudutnya yang empat dan dihubungkan apa bisa ya mohon solusinya

  3. 1q2w3e4r5t says:

    kurang lenkap

  4. aimprof08 says:

    pak, kenapa (\frac{k}{n})^2 A ?
    saya msih bingung knp harus kuadrat ?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s