Grup Topological

Di Matematika, salah satu cara mendapatkan konsep baru adalah menggabungkan 2 konsep yang sudah ada. Contohnya Topological Grup yang merupakan gabungan Grup dan Ruang Topologi. Grup Topological adalah suatu grup G yang dilengkapi topologi pada G dengan operasi binernya dan fungsi inversnya adalah fungsi kontinyu menurut topologi. Secara formal didefiniskan sebagai berikut:

Definisi: Grup Topological adalah grup G yang dilengkapi topologi pada G dan berlaku aksioma-aksioma berikut:

(i) Terdapat fungsi kontinyu  f:G\times G\rightarrow G yang didefiniskan f\left(g,h\right)=gh dengan G\times G dilengkapi dengan produk topologi

(ii) Terdapat fungsi invers kontinyu inv:G\rightarrow G yang didefinsikan inv\left(g\right)=g^{-1}.

Nah.. sekarang perhatikan aksioma (i) ekuivalent dengan pernyataan, untuk sebarang himpunan terbuka U\subseteq G dan g_{1}g_{2}\in U maka terdapat himpunan terbuka V_1,V_2 dengan g_{1}\in V_{1},g_{2}\in V_{2} dan V_{1}V_{2}=\left\{ v_{2}v_{2}| v_{1}\in V_{1}, v_{2}\in V_{2}\right\} \subseteq U. Sedangkan aksioma (ii) ekuivalent dengan menunjukkan untuk sebarang himpuan terbuka U\subseteq G maka U^{-1}=\left\{ g^{-1}|g\in U\right\} adalah himpunan terbuka juga.

Contoh Grup Topological

  1. Setiap Grup dengan topologi Diskrit adalah Grup Topologi
  2. Setiap Grup dengan topologi indiskrit adalah Grup Topologi
  3. \left(\mathbb{R},+\right) dengan topology Euclidean.
  4. Grup Lie
  5. general linear group

Semua Grup bisa dijadikan Grup topological akan tetapi belum tentu Grup yang dilengkapi Topologi akan menjadi Grup Topological.

Contoh: G=\left(\mathbb{Z}_{2},+\right) yang dilengkapi oleh Topologi dengan \emptyset,\left\{ 0\right\} dan G sebgai himpunan-himpunan terbukanya. Grup G bukanlah Grup Topological. Mengapa? karena f^{-1}\left(\left\{ 0\right\} \right)=\left\{ \left(0,0\right),\left(1,1\right)\right\} bukanlah himpunan terbuka pada produk topologi G\times G

Kalau begitu, bagaimana kita bisa mengetahui suatu grup yang dilengkapi topologi adalah Grup Topological? Teorema berikut akan menjawabnya.

Teorema: Diberikan Grup Topological G, untuk suatu a\in G maka pemetaan L_{g}:G\rightarrow G dan R_{g}:G\rightarrow G yang didefiniskan L_{g}\left(h\right)=ah dan R_{g}\left(h\right)=hg adalah homeomorfisma.

Sekarang kita lihat aplikasi Teorema diatas.

Contoh: Diberikan G=\left(\mathbb{Z},+\right) dengan topologi sebagai berikut: U\subset G adalah himpunan terbuka jika bukan 0\notin U atau G\setminus U. Jelas itu merupakan Topologi Hausdrofft Berdasarkan Teorema diatas G bukanlah Grup topological karena L_{1} memetakan himpunan terbuka \left\{ -1\right\} ke \left\{ 0\right\} . Padahal \left\{ 0\right\} bukanlah himpunan terbuka.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, Topologi and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Grup Topological

  1. belajar matematika says:

    tampilan baru blognya

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s