17

17 is the only prime of the form pq + qp, where p and q are prime

Pernyataan dari situs primes.utm.edu. Jika kita ambil p=2 dan q=3 maka jelas 17=23 + 3. Sayangnya, situs tersebut tidak menyertakan pembuktiannya. Saya sempet googling mencari pembuktiannya tetapi tidak ketemu. Oleh karena itu mari kita buktikan saja sendiri pernyataan diatas.

Untuk membuktikan pernyataan diatas, kita menggunakan beberapa fakta matematis sebagai berikut:

  • 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap, selain 2, semua bilangan prima adalah ganjil
  • bilangan ganjil + bilangan ganjil=bilangan genap
  • bilangan ganjil + bilangan genap=bilangan ganjil
  • bilangan ganjil × bilangan ganjil =bilangan ganjil
  • bilangan genap × bilangan genap =bilangan genap

Pernyataan diatas dibuktikan melalui 3 kasus.

Kasus I: p dan q adalah bilangan prima dengan p>2 dan q=3.

Karena  p>2 maka p adalah bilangan prima ganjil. Diperoleh  p3 dan 3p keduanya bilangan ganjil. Itu berarti  p3 +3p adalah penjumlahan 2 bilangan ganjil yang menghasilkan bilangan genap. Dengan kata lain p3 +3 bukan bilangan prima.

Kasus II: p dan q adalah bilangan prima dengan p>2 dan q>3.

Serupa dengan kasus pertama, kita akan mendapatkan pq dan qp keduanya bilangan ganjil maka pq + qp adalah bilangan genap bukan prima.

Kasus III: p dan q adalah bilangan prima dengan p=2 dan q>3.

Diperoleh 2q genap dan q2 ganjil maka 2q+q2 adalah bilangan ganjil. Sekarang, bagaimana membuktikan bilagan ganjil berbentuk   2q+q2 bukan bilangan prima?

Caranya kita gunakan teorema kecil Femat .

Teorema Kecil Fermat:  Diberikan bilangan asli a dan bilangan prima p maka berlaku

a^p\equiv a\mod p

Untuk mudahnya kita ambil a=2 dan p= 2q+q2. selanjunya kita harus menjawab pertanyaan berikut:

apakah berlaku  2^{2^{q}+q^{2}}\equiv2\mod2^{q}+q^{2}?

Dengan kata lain:

apakah ada bilangan bulat k yang memenuhi 2^{2^{q}+q^{2}}-2=k\left(2^{q}+q^{2}\right) ?

Andaikan ada bilangan k yang memenuhi 2^{2^{q}+q^{2}}-2=k\left(2^{q}+q^{2}\right) diperoleh

2^{2^{q}}2^{q^{2}}-2=k\left(2^{q}+q^{2}\right)

2^{2^{q}}\left(2^{q}\right)^{q}-2=k\left(2^{q}+q^{2}\right)

subtitusi x=2^{q}, diperoleh

2^{2^{q}}x^{q}-2=k\left(x+q^{2}\right)

\left(2^{2^{q}}x^{q}-2\right)\div\left(x+q^{2}\right)=k.

Padahal jika kita menggunakan pembagian suku banyak, diketahui \left(x+q^{2}\right) tidak membagi 2^{2^{q}}x^{q}-2. Kontradiksi

Jadi  2q+q2 tidak memenuhi teorema kecil fermat, dengan kata lain  2q+q2 bukan bilangan prima.

Dari kasus I, II dan III kita telah menunjukan bahwa 17 adalah satu-satungan bilangan prima berbentuk pq + qp, dengan p dan q prima

QED

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian, Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s