Teorema Marden

The Most Marvelous Theorem in Mathematics

Itulah pendapat Dan Kalman terhadap Teorema Marden. Ya… saya sependanpat dengannya, Teorema Marden amatlah Cantik memberikan hubungan geometris sederhana antara akar-akar suku banyak derajat tiga di bilangan kompleks dengan akar-akat turunannya. Sebelum membahas Teorema Marden, saya mau membahas mengenai

Ellips Steiner

Dalam Geometri, Ellips Steiner adalah ellips yang termuat didalam segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga di titik tengah.

Ellips Steiner ini tunggal, dalam artian mustahil suatu segitiga mempunyai 2 ellips Steiner yang berbeda posisi

Teorema Marden

Teorema Marden: Diberikan segitiga T di bidang komples dengan ketiga titik sudutnnya merupakan akar-akar dari p(z) suku banyak derajat tiga berkoefisien kompleks maka terdapat  Ellips Steiner pada T dengan kedua titik fokusnya merupakan akar-akar dari p'(z) (turunan pertama dari p(z) ).

Andaikan kita punya segitiga T yang dibentuk dari akar-akar p(z) suku banyak derajat tiga berkoefisien kompleks. Dengan mudah kita ketahui bahwa p'(z) adalah suku banyak berderajat 2. Menurut teorema fundamental aljabar,  p'(z) mempunyai 2 akar. Berdasarkan Teorema Gauss- Lucas, kedua akar  p'(x) berada didalam T. Nah.. Teorema Marden berbicara tentang posisi akat-akar  p'(z).  Teorema Marden mengatakan akar-akar p'(z) akan menjadi 2 titik fokus bagi Ellips Steiner pada T.

Contoh: Diberikan segitiga ABC pada bidang kompleks dengan kordinat titik-titik sudutnyasebgai berikut: (1,0),(0,i) dan  (0,-i). Selanjutnya kita cari p(z)

p\left(z\right)=\left(z^{2}+1\right)\left(z-1\right)=z^{3}-z^{2}+z-1

Diperoleh p'\left(z\right)=3z^{2}-2z+1 yang mempunyai akar \frac{1}{3}\pm\frac{\sqrt{2}}{3}i.

Jadi 2 titik fokus ellips Steiner pada ABC adalah \left(\frac{1}{3},\frac{\sqrt{2}}{3}\right) dan \left(\frac{1}{3},-\frac{\sqrt{2}}{3}\right).

Sebagai Ilustrasinya lihat gambar berikut:

Garis hitam adalah segitiga ABC dan 2 titik biru adalah akar-akar dari p(z)

Sumber gambar: Wikipedia.org dan MAA.org

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex, geometri and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Teorema Marden

  1. Fanny Apertha says:

    Terima kasih atas infonya kakak, maaf sebelumnya apakah kakak ada jurnal atau file-file berkaitan dengan teorema marden? Jika ada dan berkenan bisa share alamat website enggak? Atau jika ada file2nya yang bisa di share dengan senang hati bisa dikirim ke email saya : fannykhairul95@gmail.com
    Terima kasih banyak. ^^

  2. Nova Amalia says:

    pak. bagaima ya membuktikan teorema marden secara umum, apakah kita memisalkan p(z)= z^3=1

  3. timmy says:

    pa kalau mecari luas segitiga dalam suatu koordinat yang sudah di rotasi bagaimana

  4. aab says:

    tanya mas, apakah ke tiga kurva ellips (potongan2nya pada titik tengah) sama?
    trus itu sgitiganya sebarang ya?
    kalo segitiganya sebarang, berati ellipsnya juga bisa jadi lingkaran ya mas ketika segitiga sama sisi?
    kalo salah buat pertanyaan dikoreksi y mas,. 😀

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s