Barisan Komposisi dan Teorema Jordan-Hölder

Dalam Teori Bilangan, kita mengenal Teorema Fundamental aritmatika yang mengatakan setiap bilangan dapat dipecah menjadi faktor-faktor prima dan faktor-faktor prima tersebut tunggal.

Nah… pada teori grup ada konsep yang mirip.

Barisan Komposisi

Barisan komposisi adalah cara memecah grup menjadi grup-grup sederhana.

Definsi: Suatu grup dikatakan sederhana jika hanya mempunyai subgrup normal: \left\{ 1\right\} dan dirinya sendiri.

Karena hanya mempunyai subgrup normal: \left\{ 1\right\}  dan dirinya sendiri maka grup sederhana hanya mempunyai grup faktor: \left\{ 1\right\} dan dirinya sendiri. Serupa dengan bilangan prima, ya kan?

Sekarang kita lihat definisi formal dari barisan komposisi.

Definsi: Barisan komposisi dari suatu grup G adalah rantai berhinga dari subgrup:

\left\{ 1\right\} =G_{n}\vartriangleleft G_{n-1}\vartriangleleft\ldots\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{0}=G

Yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Untuk i=0,1,\ldots,n-1, berlaku  G_{n-1} adalah subgrup normal dari G_1

2. Grup faktor G_i/G_{i+1} adalah sederhana dan grup-grup faktor

G_{0}/G_{1},G_{1}/G_{2},\ldots,G_{n-1}/G_{n}, disebut komposisi faktor.

Nah..tidak semua grup mempunyai barisan komposisi lho.

Teorema: Semua Grup berhingga mempunyai barisan komposisi.

Jadi hanya grup berhingga dijamin mempunyai barisan komposisi, sedengkan grup tak hingga belum tentu.

Teorema Jordan Holder

Suatu Grup bisa saja mempunyai barisan komposisi tetapi semua barisan komposisi tersebut ekuivalent, yang maksudnya mempunyai panjang yang sama dan faktor komposisi yang sama.

Teorema Jordan Hölder: Diberikan grup G yang mempunyai barisan komposisi maka sebarang 2 barisan komposisi mempunyai panjang yang sama, misalkan

\left\{ 1\right\} =G_{n}\vartriangleleft G_{n-1}\vartriangleleft\ldots\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{0}=G

dan

\left\{ 1\right\} =H_{n}\vartriangleleft H_{n-1}\vartriangleleft\ldots\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{0}=G

serta terdapat permutasi \tau dari \left\{ 1,2,\ldots,n-1\right\} sehingga untuk setiap i=0,1,\ldots,n-1 berlaku

G_{i}/G_{i+1}\cong H_{\tau\left(i\right)}/H_{\tau\left(i\right)+1}

Contoh:

Barisan dari grup siklik C_12 adalah

  1. C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}
  2. C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_4 \triangleleft C_{12}
  3. C_1\triangleleft C_3\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}

Dan faktor komposisinya adalah:

  1. C_2,C_3,C_2
  2. C_2,C_2,C_3
  3. C_3,C_2,C_2

Dari contoh diatas bisa kita lihat  C_{12} mempunyai 3 barisan komposisi yang sama panjang dan faktor-faktor komposisi yang sama cuman berbeda urutannya saja.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s