Teorema yang paling mengagumkan

Dari semua Teorema Matematika yang saya ketahui, saya berpendapat Teorema Fundamental Kalkulus adalah Teorema yang paling mengagumkan, paling menakjubkan. Mengapa? Karena teorema tersebut menghubungkan 2 konsep yang amat berbeda.

Turunan

Gambar 1

Turunan fungsi f di x adalah gradien garis singung yang menyinggung grafik fungsi f di titik (f(x),y). Perhatikan gambar 1. Yang berwarna hitam adalah  grafik fungsi f, sedangkan yang berwana merah adalah garis singgung yang melaui  titik (f(x),y). Nah turunan fungsi f di x adalah gradien garis singgung tersebut.

Secara formal Turunan fungsi f di x didefinsikan sebagai berikut:

{\displaystyle f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}

Di kehidupan nyata kebalikan dari turunan adalah tanjakan. Di Matematika kebalikan dari turunan tidak disebut tanjakan tetapi disebut anti turunan.

Definisi: Anti turunan dari fungsi f adalah fungsi F yang turunannya adalah f

Contoh: Anti turunan dari 2x adalah x^2, karena turunan dari   x^2 adalah  2x

Integral.

Integral fungsi f dari a ke b, dinotasikan \intop_{a}^{b}f\left(x\right)dx adalah luas dearah pada bidang kartesius, yang dibatasi oleh grafik fungsi f, sumbu-x dan  2 garis vertikal x=a dan x=a. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 2.

Pada gambar 2,  \intop_{a}^{b}f\left(x\right)dx adalah luas dearah S, daerah yang diasir.

Teorema Fundamental Kalkulus.

 Kita telah membahas Turunan dan Integral, 2 hal yang amat berbeda kan? Yang satu berbicara gradien garis singgung, satunya lagi berbicara luas daerah.  Nah.. oleh Teorema Fundamental kalkulus, 2 hal yang amat berbeda tersebut dapat dihubungkan dengan amat elegan.

Teorema Fundamental Kalkulus: Jika f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup [a,b] maka berlaku

\intop_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)

Jadi Teorema Fundamental Kalkulus mengatakan \intop_{a}^{b}f\left(x\right)dx sama dengan selisih anti turunan dari f di b dengan di a.

Ini lah sebabnya amat kagum dengan Teorema Fundamental Kalkulus, menghubungkan dengan amat cantik, 2 hal yang amat berbeda. Saya tidak tahu apakah ada teorema lain selain Teorema Fundamental Kalkulus yang menghubungkan 2 hal yang amat berbeda.

Oya satu hal lagi. Teorema Fundamental Kalkulus dinamakan demikian karena menghubungkan 2 objek utama kajian dari kalkulus yaitu Turunan dan Integral.

Kredit Gambar: Wikipedia dan http://maretbccalculus2007-2008.pbworks.com/

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

16 Responses to Teorema yang paling mengagumkan

  1. aab says:

    nambah mas, melihat pertanyaan mas-mas yg diatas, jadi pengen lebih jelas lagi. integral apa yang palng akurat menurut sepengetahuan mas dalam mencari luasan, luasan permukaan, atau volum ? integral riemann ataukah integral lebesgue, atau intrgral lainnya (mungkin ada integral yang tidak saya ketahui, kayak integral fubini)?
    terimakasih.. 🙂

  2. aab says:

    mas tanya, untuk persamaan diferensial kan juga berhubungan dengan teorema fundamental kalkulus di atas kan.
    pertanyaan saya, sebenarnya persamaan diferensial parsial, persamaan diferensial biasa, fungsi persamaan diferensial, dan banyak lagi lainnya. mereka itu termasuk jenis dari persamaan difernsial atau jenis dari teknik penyelesaian persamaan diferensial (menentukan solusinya)?
    trus, kalau pemisahan variabel, transformasi laplace, persamaan nonhomogen, persamaan homogen itu apa? bukannya itu jenis dari persamaan diferensial juga?
    semoga ga bingung dengan pertanyaaan saya… hehehe

  3. adimath17 says:

    yang bikin gokil ne tulisan.. knp harus dihubung2kn dgn tanjakan… turunan di matematika apa bisa disamakan dengan turunan ti jalanan??? hehehee

  4. aab says:

    mantap mas,.

  5. john huckelberg says:

    @ Mas Aria; satu hal lagi mas, jangan bosan dong mencerahkan kami kami yang awam.
    Jujur saja, tulisan anda sudh cukup banyak membantu saya, mudah mudahanyang lain juga begitu.

  6. john huckelberg says:

    Sampai sekarang saya tak kunjung paham, mengapa luas kurva bisa dihitung dengan menjumlahkan luas bagian demi bagian yang katanya sangat amat banget kecil.

    • Aria Turns says:

      Secara sederhana untuk mencari nilai integral (luas daerah dibawah kurva), pertama -tama kita memecah daerah tersebut menjadi pecahan-pecahan kecil berbentuk persegi kemudian kita hitung luas pecahan2nya satu-persatu, jumlahkan semuanya untuk mendapatkan luas daerah yang kita cari.
      masuk akal, bukan?

      • john huckelberg says:

        Secara prosedural, saya mengerti dan mampu melakukannya–asalkan bentuk fungsinya tidak terlalu rumit. Ya, katakanlah selevel anak SMA kelas 3 (kebetulan saya cukup beruntung bisa lulus dari SMA).
        Sekarang ambil saja kurva seperti gambar di atas. Bikin belahan-belahan vertikal sesempit mungkin (bentuknya persegi panjang, kan?), lalu jumlahkan luas masing masing dari a hingga b sehingga diperoleh luas total.
        Karena bentuk yg persegi panjang tersebut, maka pasti ada area yg berada di bawah kurva dan sebagian lagi di atas kurva.
        Yang saya tanyakan; bagaimana mungkin kita mengabaikan luas di luar kurva (bagian atas) dari masing masing belahan tersebut?
        Maaf, bang Aria.. kalau bahasa saya tidak tersusun rapi. Maklum, saya nggak sempat makan bangku kuliahan.

        • Aria Turns says:

          Ada banyak metode menghitung integral, metode yang kamu maksud dinamakan Penjumlahan Riemann (Riemann sum). Inilah metode yang diajarkan di SMA, Penjumlahan Riemann tidak menghitung nilai integral secara eksak / pasti tetapi hanya PENDEKATAN ( approximation) saja. seperti yang anda katakan “kita mengabaikan luas di luar kurva (bagian atas) dari masing masing belahan tersebut” tetapi luas yang kita abaikan teramatlah kecil jadi tidak terlalu mempengaruhi

          • john huckelberg says:

            Terima kasih.
            Sekarang saya merasa lebih jelas dengan jawaban Mas Aria.
            Kalau begitu ada beberapa metoda lain ya Mas?
            Dari sekian banyak metoda, ada nggak yang bisa menghitung dengan akurat 100 persen? Artinya tidak bersifat pendekatan seperti halnya kita menghitung luas bujursangkar berukuran 10 cm kali 10 cm.

            • Aria Turns says:

              Secara umum ada 2metode yang sering digunakan Penjumlahan Riemann dan Lebesgue integration, Akan teteapi Penjumlahan Riemann sudah cukup akurat keran luas daerah yg diabaikan amatlah kecil limit mendekati nol. itulah sebabnya bisa kita abaikan

          • indra says:

            penjelasan terlalu teoritis untuk berbicara kepada orang awam..
            saya bisa jawab:
            area tersisa yang anda maksud sebenarnya hampir sudah TIDAK ADA kerena belahan (dalam bahasa anda) atau anggap saja lebar persegi panjang vertikal tsb SANGAT PENDEK.. jadi kalau anda bisa bayangkan semua persegi panjang tersebut MASUK secara PAS dalam kurva. dan bayangkan bila jumlahnya sangat banyak..
            maka, Perhitungan tsb bukan lagi mendekati tetapi dapat menghitung secara TEPAT.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s