Maksimal, Maksimum, Minimal, Minimum, Apa bedanya?

Di dalam Poset ada 2 pasang definisi yang serupa, mirip tetapi mempunyai arti yang berbeda dan sering membuat orang bingung. Yang pertama adalah maksimal dengan maksimun, yang kedua adalah minimal dengam minimum.

Dalam kamus bahasa maksimal dan maksimun itu sami mawon tetapi dalam poset mereka berdua sedikit berebeda, begitu pula dengan minimal dengam minimum.

Maksimal vs Maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen m\in E dilatakan elemen maksimal jika TIDAK ADA  x\in E sedemikian hingga m\prec x.

Jadi elemen m dalam suatu poset dikatakan maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih besar dari m. Dengan kata lain  m adalah elemen maksimal jika tidak lebih kecil dari semua elemen di suatu Poset.

Sekarang kita bahas elemen maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen p\in E dilatakan elemen maksimum atau disebut juga  elemen terbesar jika untuk semua  x\in E berlaku x\preceq p

Sesuai dengan namanya elemen maksimun adalah elemen tersebar, artinya semua elemen didalam poset akan selalu lebih kecil atau sama dengan elemen maksimun tersebut.

Sekarang kita masuk ke contoh, supaya lebih jelas

Contoh 1: Diberikan poset  \left(A,\preceq\right) dengan A=\left\{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\} dan relasi urutan a\preceq b yang didefinisikan a|b (yaitu a membagi a), untuk a,b\in A.

Dari contoh 1, bilangan 6,7,8,9 dan 10 adalah elemen maksimal, karena tidak ada bilangan di A yang dapat dibagi oleh  6,7,8,9 dan 10 kecuali oleh diri mereka sendiri. Selanjutnya, apa elemen maksimumnya? Tidak ada, poset  \left(A,\preceq\right) tidak mempunyai elemen maksimum, karena tidak ada bilangan di A yang dapat dibagi oleh semua bilangan pada himpunan tersebut.

Contoh 2:  Diberikan poset  \left(B,\preceq\right) dengan B=\left\{ 2,4,8,16,32,64,128,256\right\} dan relasi urutan a\preceq b yang didefinisikan a|b (yaitu a membagi b), untuk a,b\in B.

Bilangan 256 merupakan elemen maksimum sekaligus maksimal pada \left(B,\preceq\right). Mengapa?

Minimal vs Minimum

Kebalikan dari maksimal adalah minimal

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right), elemen n\in E dilatakan elemen minimal jika TIDAK ADA  x\in E sedemikian hingga x\prec n.

Jadi elemen n dalam suatu poset dikatakan minimal jika tidak ada elemen lain yang lebih kecil dari n. Dengan kata lain  n adalah elemen minimal jika tidak lebih besar dari semua elemen di suatu Poset.

Sedangkan elemen minimum merupakan kebalikan dari elemen maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen q\in E dilatakan elemen minimum atau disebut juga elemen terkecil jika untuk semua  x\in E berlaku q\preceq x.

Suatu elemen pada poset dikatakan mimimum atau terkecil, jika untuk semua eleme pada poset tersebut akan selalu lebih besar atau sama dengan elemen minimum tersebut

Pada contoh 1, bilangan 2 dan 3 merupakan elemen minimal, karena tidak ada bilangan di A yang merupakan faktor dari 2 dan 3 kecuali diri mereka sendiri. Poset  \left(A,\preceq\right) tidak mempunyai elemen minimum, karena tidak ada bilangan di A yang menjadi faktor dari semua bilangan pada himpunan tersebut.

Sedangkan pada contoh 2, bilangan 2 adalah elemen minimum sekaligus minimal. Mengapa?

Dari apa yang sudah kita bahas dapat disimpulkan sebagai berikut

  1. Elemen maksimal dan mimimal tidak harus tunggal
  2. Elemen maksimum dan minimum tunggal
  3. Elemen maksimum dengan sendirinya merupakan elemen maksimal, begitupula elemen minimum adalah elemen minimal, tetapi sebaliknya tidak berlaku.

Bagaimana kalian sudah jelas bendanya maksimal dengan maksimum dan minimal dengan minimum, atau malah tambah bingung 🙂

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in himpunan and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Maksimal, Maksimum, Minimal, Minimum, Apa bedanya?

  1. aimprof08 says:

    koreksi dikit dulu mas, ada sdikit kesalahan di kalimat ” a \mid b (yaitu a membagi a) ” tapi ttep keren tulisannya 😀

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s