Ternak Sang Dewa Matahari

Pada tahun 1769. Seorang filsuf jerman Gotthold Ephraim Lessing yang saat itu berkerja sebagai pustakawan di Perpustaakan  Herzog August, Wolfenbüttel, Jerman, sebuah perpustakan yang banyak menyimpan manuskrip kuno latin dan Yunani. Ia menemukan surat berbentuk Epigram yang ditulis oleh Archimedes ditujukan kepada Eratosthenes. Tahun 1773 ia berhasil menerjemahkan surat tersebut, isinya sebagai berikut:

Wahai, orang Asing, jika kau cukup tekun dan bijak. Mampukah kau menghitung banyaknya ternak (Dewa) Matahari yang terkadang merumput pada sebidang tanah di Thrinacian dari Sisilia. Dibagi menjadi empat kawanan warna yang berbeda, satu susu putih, kedua hitam terang, ketiga kuning dan terakhir belang-belang. Di setiap kawanan terdapat sapi jantan perkasa yang jumlahnya sesuai dengan perbandingan berikut: Pahamilah, orang asing bahwa sapi jantan Putih setara dengan setengah dan sepertiga dari yang hitam bersama semua yang kuning. Sedangkan yang hitam setara dengan seperempat dan seperlima dari yang belang-belang sekali lagi bersama semua yang kuning. Amati lebih lanjut bahwa sapi jantan yang tersisa adalah yang belang-belang setara dengan seperenam dan sepertujuh dari yang putih serta semua yang kuning. Berikutnya perbandingan yang betina: Yang putih tepat setara sepertiga dan seperempat seluruh kawanan berwarna hitam. Sedangkan yang hitam setara seperempat dan seperlima dari yang belang-belang ketika semuanya termasuk yang jantan merumput bersama-sama. Sekarang yang belang-belang dalam empat bagian yang sama jumlahnya dengan seperlima dan seperenam kawanan kuning. Terakhir yang kuning jumlahnya setara dengan seperenam dan sepertujuh kawanan putih. Jika engkau dapat mengatakan secara akurat, Wahai orang asing, jumlah ternak Matahari, memberikan secara terpisah jumlah makan  yang cukup bagi  sapi jantan dan betina menurut setiap warna, engkau tidak disebut tidak terampil atau bodoh menghitung, tetapi engkau tidak termasuk golongan orang-orang bijak.

Tapi pahami juga semua kondisi ini mengenai ternak Matahari. Ketika sapi jantan putih bercampur dengan yang hitam, meraka berdiri teguh di kedalaman dan keluasan yang sama di dataran Thrinacia, membentang jauh dalam segala cara, dipenuhi dengan jumlah mereka. Sekali lagi, ketika sapi jantan belang-belang dan kuning dikumpulkan menjadi satu kawanan mereka berdiri sedemikian rupa sehingga jumlah mereka, mulai dari satu, tumbuh perlahan-lahan lebih besar sampai selesai bilangan segitiga,  tidak ada sapi jantan warna lain di tengah-tengah mereka dan tidak ada satupun dari mereka kurang. Jika engkau mampu, Wahai orang asing , untuk mengetahui semua hal ini dan mengumpulkan mereka dalam pikiran Anda, memberikan semua hubungan, haruslah engkau Diangkat, dimahkotai dengan kemuliaan dan mengetahui bahwa engkau telah menjadi  sempurna dalam golongan kebijaksanaan ini.

Yang diatas itu merupakan terjemahan bebas saya, silahkan klik disini untuk membaca terjemahan dalam bahasa inggris. Jadi surat teresebut merupakan soal matematis dari Archimedes kepada Eratosthenes dikenal dengan nama Masalah Ternak archimedes (archimedes cattle problem)  Nah sekarang mari kita jawab soal tersebut

Bagian Pertama (Paragraf pertama dari surat)

Diberikan

P = Sapi Jantan Putih

H = Sapi Jantan hitam

K = Sapi Jantan Kuning

B = Sapi Jantan Belang-belang

p = Sapi Betina Putih

h = Sapi Betina hitam

k = Sapi betina Kuning

b = Sapi Betina Belang-belang

Paragraf pertama dari surat diatas bisa dinyatakan sebagai berikut:

  1. P=(1/2 + 1/3)H + K sapi jantan Putih setara dengan setengah dan sepertiga dari yang hitam bersama semua yang kuning
  2. H=(1/4+1/5)D+K Sedangkan yang hitam setara dengan seperempat dan seperlima dari yang belang-belang sekali lagi bersama semua yang kuning.
  3. B=(1/6+1/7)P+K bahwa sapi jantan yang tersisa adalah yang belang-belang setara dengan seperenam dan sepertujuh dari yang putih serta semua yang kuning
  4. p=(1/3+1/4)(H+h) Yang putih tepat setara sepertiga dan seperempat seluruh kawanan berwarna hitam.
  5. h=(1/4+1/5)(B+b) Sedangkan yang hitam setara seperempat dan seperlima dari yang belang-belang ketika semuanya termasuk yang jantan merumput bersama-sama.
  6. b=(1/5+1/6)(K+k) Sekarang yang belang-belang dalam empat bagian yang sama jumlahnya dengan seperlima dan seperenam kawanan kuning.
  7. k=(1/6+1/7)(P+p)  Terakhir yang kuning jumlahnya setara dengan seperenam dan sepertujuh kawanan putih

Diperoleh 7 persamaan dengan 8 variabel karena persamaannya lebih sedikit dari variabelnya itu artinya merupakan underdetermined system yang umumnya mempunyai tak hingga solusi. Ketujuh persamaan diatas membentuk sistem liner homogenus dengan  matriks berukuran 7 x 8
\begin{array}[b]{cccccccc}  6 & -5 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\  0 & 20 & -20 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0\\  -13 & 0 & -42 & 42 & 0 & 0 & 0 & 0\\  0 & -7 & 0 & 0 & 12 & -7 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 & -9 & 0 & 20 & 0 & -9\\  0 & 0 & -11 & 0 & 0 & 0 & -11 & 30\\  -13 & 0 & 0 & 0 & -13 & 0 & 42 & 0\end{array}

Dengan menggunakan sofware matematika seperti Maple, MatLab, Mathematica, dll dengan mudah diperoleh solusi

P = 10.366.482k
H = 7.460.514k
K = 4.149.387k
B = 7.358.060k
p = 7.206.360k
h = 4.893.246k
k = 5.439.213k
b = 3.515.820k

Dengan k sebarang bilangan bulat positif, Yup jadi benar mempunyai tak hingga solusi,kita ambil solusi minimal yaitu k=1 diperoleh

P = 10.366.482
H = 7.460.514
K = 4.149.387
B = 7.358.060
p = 7.206.360
h = 4.893.246
k = 5.439.213
b = 3.515.820

Total (minimum) semua ternak dewa matahari adalah 50,389,082. Jika kita mampu menjawab bagian pertama maka kita “tidak disebut tidak terampil atau bodoh menghitung” tetapi belum termasuk golongan orang bijak. Hanya dengan menjawab bagian kedua (paragraf kedua) kita termasuk golongan orang bijak.

-Bersambung-

Gambar diambil dari ternakonline
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Alin and tagged , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s