Pelari yang Kesepian

Bayangkan, ada n pelari yang akan berlari pada lintasan lari berbentuk lingkaran dengan keliling 1 km. Setiap pelari mempunyai kecepatan konstan yaitu v_i km/jam dan semua pelari mempunyai kecepatan yang berbeda-beda. Semua pelari akan memulai lari pada garis start dan pada waktu bersamaan. Pada waktu x jam seorang pelari i akan mempunyai jarak ke garis start sebesar {v_ix} km, dengan \left\{ x\right\}  adalah bagian pecahan dari bilangan x.

Contoh: Pelari i mempunayai kecepatan 3 km/jam. dalam waktu 1,25 jam. Ia telah berlari sebanyak 3,75 putaran. Itu berarti jarak dia ke garis start adalah \left\{ 3,75\right\}=0,75  km.

Jadi jarak maksimal pelari dengan garis start adalah kurang dari 1 km. Seorang pelari dikatakan kesepian jika jaraknya ke garis start minimal \frac {1}{n+1} km.

Nah… yang jadi pertanyaan adalah

Apakah ada waktu x sedemikian hingga semua pelari kesepian?

Pertanyaan diatas dikenal dengan nama Dugaan Pelari Kesepian (The Lonely Runner Conjecture).

Secara formal pertanyaan diatas dapat ditulis sebagai berikut

Dugaan Pelari Kesepian: Diberikan n bilangan bulat positif berbeda-beda v_{1},v_{2},\ldots,v_{n} maka terdapat bilangan real x sedemikian hingga

\left\{ v_{i}x\right\} \geq\frac{1}{n+1}

untuk setiap i=1,2,3,\ldots,n.

Untuk n=1 maka jelas seiring berjalannya waktu seorang pelari akan berjarak lebih dari 1/2 km dari garis start.

Sampai detik ini nilai n terbesar yang diketahui adalah 7. Jadi untuk maksimal 7 pelari akan ada waktu x sedemikian hingga semua pelari kesepian.

Bagaimana untuk n yang lebih besar dari 7? Masih merupakan misteri

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in dll and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s