Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

Di Tahun 1872, Weierstrass  mengejutkan dunia Matematika dengan menuliskan sebuah paper yang menunjukan ada fungsi kontinyu di semua titik di \mathbb{R} tetapi tidak tidak terturun dimanapun. Fungsi tersebut dinamakan sesuai dengan namanya yaitu Fungsi Weierstrass.

Definisi: Diberikan 0<a<1 dan b bilangan ganjil positif yang memenuhi 1+3\pi/2<ab (contoh: ambil a=1/2 dan b=11). Didefinsikan fungsi Weierstrass W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, sebagai berikut:

{\displaystyle W\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right)}

Sebuah fungsi berbentuk deret tak hingga

Sebelum Weierstrass menerbitkan papernya, mayoritas Matematikawan termasuk Dewa Matematika Gauss berkeyakinan bahwa fungsi kontinyu hanya gagal terturun di titik-titik tertentu saja, Contohnya fungsi |x| yang hanya tidak terturun di titik 0. Nah..Weierstrass lah dengan sukses membantah keyakinan mereka.

Teorema: Fungsi W kontinyu seragam di \mathbb{R} tetapi tidak terturun di titik manapun.

Ternyata fungsi W tidak hanya kontinyu melainkan kontinyu seragam. Faka ini juga mengejutkan para Matematikawan ternyata kontinyu seragam tidak menjamin keterturunan.

Bukti:

Pertama-tama kita buktikan fungsi W kontinyu seragam di \mathbb{R}

Dengan mudah diketahui \left|a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right)\right|\leq a^{n} dan \sum_{n=0}^{\infty}a^{n} maka berdasarkan Weierstrass M-Test, diketahui fungsi W kontinyu seragam di \mathbb{R}.

Selanjutnya dibuktikan, untuk sebarang x_{0}\in\mathbb{R}, fungsi W tidak terturun di x_{0}. Caranya sebagai berikut:Kita mengkontruksikan dua barisan \left(x_{m}^{+}\right) dan \left(x_{m}^{-}\right), sedemikian hingga

x_{m}^{+}\rightarrow x_{0} dari kanan dan x_{m}^{-}\rightarrow x_{0} dari kiri. Itu artinya x_{m}^{-}<x_{0}<x_{m}^{+}. Selanjutnya ditunjukan turunan

{\displaystyle D_{m}^{\pm}W=\frac{W\left(x_{m}^{\pm}\right)-W\left(x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}}

tidak mempunyai nilai limit yang sama. Faktanya akan ditunjukan bahwa \left|D_{m}^{\pm}W\right| divergen ke \infty ketika m\rightarrow\infty serta kedua D_{m}^{+}W dan D_{m}^{-}W mempunyai tanda yang berbeda.

Jadi dalam skala kecil, fungsi W naik-turun teramat sering dengan kemiringan tak-hingga.

Grafik Fungsi Weierstrass

Ambil sebarang x_{0}\in\mathbb{R}. Untuk setiap m\in\mathbb{N} terdapat bilangan bulat \alpha_{m}\in\mathbb{Z}, sedemikian hingga:

b^{m}x_{0}=\alpha_{m}+\epsilon_{m}

dengan \epsilon_{m}\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). (\alpha_{m} adalah \left[b^{m}x_{0}\right] atau \left[b^{m}x_{0}\right]-1, tergantung bagian desimal dari b^{m}x_{0} apakah \leq\frac{1}{2} atau >\frac{1}{2}. Didefinisikan

x_{m}^{\pm}=\frac{\alpha_{m}\pm1}{b^{m}}=\frac{b^{m}x_{0}-\epsilon_{m}\pm1}{b_{m}}=x_{0}+\frac{\pm1-\epsilon_{m}}{b_{m}}

Karena \left|\pm1-\epsilon_{m}\right|\leq1\frac{1}{2} dan b\geq3 maka x_{m}^{\pm}-x_{0} konvergen ke 0. Selanjutnya kita jabarkan turunan.

{\displaystyle D_{m}^{\pm}=\frac{W\left(x_{m}^{\pm}\right)-W\left(x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}}

Selanjutnya kita pecah deret diatas menjadi 2 bagain.

{\displaystyle D_{m}^{\pm}=\sum_{n=0}^{m-1}a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}+\sum_{n=m}^{\infty}a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}}

Rujuk 2 bagian diatas dengan S_{1}^{\pm}+S_{2}^{\pm}. Pertama-tama kita berikan batas atas untuk  S_{1}^{\pm}. Tulis ulang rumusnya menjadi:

{\displaystyle a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}=\left(ab\right)^{n}\pi\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{b^{n}\pi x_{m}^{\pm}-b^{n}\pi x_{0}}}

Diperoleh bentuk \left(ab\right)^{n}\pi\frac{\cos\left(A\right)-\cos\left(B\right)}{A-B}. Berdasarkan Teorema Nilai rata-rata terdapat titik C antara A dan B dengan \frac{\cos\left(A\right)-\cos\left(B\right)}{A-B}=-\sin C dan nilai mutlaknya adalah \leq1, diperoleh

(1) {\displaystyle \left|S_{1}^{\pm}\right|\leq\sum_{n=0}^{m-1}\left(ab\right)^{n}\pi=\pi\frac{\left(ab\right)^{m}-1}{ab-1}<\pi\frac{\left(ab\right)^{m}}{ab-1}}

Sekarang masuk ke bagian 2. Kita indeks ulang k=n-m.

(2) {\displaystyle S_{2}^{\pm}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{k+m}\frac{\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{k+m}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}}

Dijabarkan argument cos pada term pertama

\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)=\cos\left(b^{k}\pi\cdot b^{m}\frac{\alpha_{m}\pm1}{b^{m}}\right)=\cos\left(b^{k}\left(\alpha_{m}\pm1\right)\pi\right)

Karena b^k adalah bilangan bulat ganjil, dan \alpha\pm1 adalah bilangan bulat bulat maka nilai diatas adalah \pm1, dengan tanda ditentukan oleh \alpha\pm1 yaitu:

\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)=\left(-1\right)^{\alpha\pm1}=-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}

Selanjutnya, argument cos pada term kedua di persamaan 2 adalah:

b^{k+m}\pi x_{0}=b^{k+m}\pi\frac{\alpha_{m}+\epsilon_{m}}{b^{m}}=b^{k}\pi\left(\alpha_{m}+\epsilon_{m}\right)

Gunakan rumus penjumlahan cosine, \cos\left(A+B\right)=\cos\left(A\right)\cos\left(B\right)-\sin\left(A\right)\sin\left(B\right), diperoleh:

\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)=\cos\left(b^{k}\pi\left(\alpha_{m}+\epsilon_{m}\right)\right)=\cos\left(b^{k}\alpha_{m}\pi\right)\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)-\sin\left(b^{k}\alpha_{m}\pi\right)\sin\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)

Karena b^{k}\alpha_{m}\in\mathbb{Z}, term kedua adalah 0, diketahui pula \cos\left(b^{k}\alpha_{m}\pi\right)=-1^{\alpha_{m}}, diperoleh

\cos\left(b^{k+m}\alpha_{m}\pi\right)=-1^{\alpha_{m}}\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right).

Masukkan ke persamaan 2 diperoleh

(3)  {\displaystyle S_{2}^{\pm}=\sum_{k=0}^{\infty}\alpha^{k+m}\frac{-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}}

Diketahui x_{m}^{\pm}-x_{0}=\left(\pm1-\epsilon_{m}\right)/b^{m}, maka persamaan 3 dapat disederhanakan sebagai berikut

(4) {\displaystyle S_{2}^{\pm}=\left(ab\right)^{m}\left(-1\right)^{\alpha_{m}}\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{\epsilon_{m\mp 1}}}

Nah… sekarang perhatikan 2 deret S_{2}^{+} dan S_{2}^{-} secara terpisah, dari persamaan 4 diperoleh:

{\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{\epsilon_{m}-1}}

Karena \epsilon_{m}\leq\frac{1}{2} dan \cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)\geq-1 maka semua suku pada deret diatas adalah \leq0. Oleh karena itu negatif dari deret tersebut mempunyai suku-suku yang non-negatif dan mempunyai batas bawah oleh suku pertama k=0.

{\displaystyle -\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}\geq\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{1-\epsilon_{m}}}

Karena \epsilon_{m}>-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\epsilon_{m}}\geq\frac{1}{1-\frac{1}{2}} dan \epsilon_{m}\pi\in\left(-\pi/2,\pi/2\right] maka nilai cosine adalah \geq0 serta pembilang adalah \geq1, diperoleh

(5) {\displaystyle -\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}\geq\frac{1}{1+1/2}=\frac{2}{3}}

Sekarang kita perhatikan S_{2}^{-}, dari persamaan 4, diperoleh

{\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{-}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{\epsilon_{m}+1}}

adalah deret dengan suku-suku non-negatif. Dengan cara yang sama pada penjabaran S_{2}^{+}, diperoleh:

(6) {\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}}

Sekarang kita siap menyelesaikan pembuktian, gabungkan persamaan 1 dan 5

\left(ab\right)^{-m}D_{m}^{+}W=\left(ab\right)^{-m}S_{1}^{+}+\left(ab\right)^{-m}S_{2}^{+}

dengan

\left|\left(ab\right)^{-m}S_{1}^{+}\right|\leq\frac{\pi}{ab-1},\quad-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}\left(ab\right)^{-m}S_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}

untuk mempermudah notasi, ambil T_{j}^{\pm}=\left(ab\right)^{-m}S_{j}^{\pm} dengan j=1,2 maka

\left|T_{1}^{+}\right|\leq\frac{\pi}{ab-1},\quad-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}T_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}

Itu berarti, T_{1}^{+}\in\left[-\frac{\pi}{ab-1},\frac{\pi}{ab-1}\right] sedangkan T_{2}^{+} adalah bilangan (bisa positif atau negatif) diluar interval \left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right). Berdasarkan asumsi \frac{\pi}{ab-1}<\frac{2}{3} maka \left(ab\right)^{-m}D_{m}^{+}W=T_{1}^{+}+T_{2}^{+} adalah bilangan dengan nilai mutlak lebih besar dari \frac{2}{3}-\frac{\pi}{ab-1}. Dengan kata lain, saat m\rightarrow\infty maka  \left(ab\right)^{-m}D_{m}^{+}W tidak mendekati nol, padahal \left(ab\right)^{-m}\rightarrow0 saat m\rightarrow\infty.

Hal tersebut membuktikan turunan kanan dari W di x_0 tidak ada, dannilai mutlaknya menuju tak hingga.  Ini sudah cukup membuktikan Teorema.

Perhatikan, dengan cara yang sama, diperoleh

\left|T_{1}^{-}\right|\leq\frac{\pi}{ab-1},\quad\left(-1\right)^{\alpha_{m}}T_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}

Itu artinya nilai mutlak D_{m}^{-}W menuju tak hingga saat mendekati x_0 dari kiri. Akan tetapi yang menarik T_{2}^{+} dan T_{2}^{-} mempunyai tanda yang berbeda, yang berarti fungsi W tidak hanya tak terturun di semua titik, tetapi semua titik jika didekati dari kiri dan kanan mempunyai kemiringan tak hingga besarnya dengan tanda yang berlawanan. Itu artinya di setiap titik, fungsi W akan naik-turun dengan kemiringan tak-terhingga.

Kredit Gambar: Wikipedia

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

10 Responses to Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

  1. marthin says:

    matematika memang indah tetapi mumet mas

  2. Saefurrohman says:

    amazing, Math is really amazing….
    kereen mas 😀

  3. M says:

    bisa tunjukkan grafik-grafik lain beserta fungsinya juga gak mas?

  4. HIMMAT4us says:

    unik dan menarik.
    bisa jelasin lebih sederhana lagi mas.
    belum menjangakau mas kesitu.

  5. M says:

    Wew…
    Itu kayak fungsi fraktal ya.

    Mas, bisa bahas tentang fungsi fraktal gak?

  6. Lukman gaffar says:

    Ternyata ada ya fungsi seperti ini,,,keren bangettt,,,,,,,,,,,,,,,,,

  7. sari azzahra says:

    banyak hal unik di blog ini..
    mau nanya mas,, dr mana dapat referensi nya mas..
    makasiii..

  8. bijak says:

    wah keren sekali fungsi ini

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s